Öğrenci ilk yıl en sık 2. dereceden yüzeylerle karşılaşır. İlk başta, bu konudaki görevler basit görünebilir, ancak daha yüksek matematik okudukça ve bilimsel yönü derinleştirdikçe, sonunda kendinizi olan bitene yönlendirmeyi bırakabilirsiniz. Bunun olmasını önlemek için, sadece ezberlemek değil, aynı zamanda belirli bir yüzeyin nasıl elde edildiğini, katsayıların değiştirilmesinin onu nasıl etkilediğini ve orijinal koordinat sistemine göre konumunu ve yeni bir sistemin nasıl bulunacağını anlamak gerekir. (merkezinin orijin koordinatlarıyla çakıştığı ve simetri ekseninin koordinat eksenlerinden birine paralel olduğu). En baştan başlayalım.
Tanım
GMT, koordinatları aşağıdaki formun genel denklemini karşılayan 2. dereceden bir yüzey olarak adlandırılır:
F(x, y, z)=0.
Yüzeye ait olan her noktanın belirli bir temelde üç koordinata sahip olması gerektiği açıktır. Her ne kadar bazı durumlarda noktaların yeri, örneğin bir düzlemde dejenere olabilir. Bu yalnızca koordinatlardan birinin sabit olduğu ve kabul edilebilir değerlerin tüm aralığında sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.
Yukarıda bahsedilen eşitliğin tam boyalı hali şuna benzer:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – bazı sabitler, x, y, z – bir noktanın afin koordinatlarına karşılık gelen değişkenler. Bu durumda sabit faktörlerden en az biri sıfıra eşit olmamalıdır, yani denkleme hiçbir nokta karşılık gelmez.
Örneklerin büyük çoğunluğunda, birçok sayısal faktör hala aynı şekilde sıfıra eşittir ve denklem büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Pratikte, bir noktanın bir yüzeye ait olup olmadığını belirlemek zor değildir (koordinatlarını denklemde yerine koymak ve özdeşliğin gözlemlenip gözlemlenmediğini kontrol etmek yeterlidir). Bu tür çalışmalarda kilit nokta, ikincisini kanonik bir forma getirmektir.
Yukarıda yazılan denklem, 2. mertebenin herhangi bir (tümü aşağıda listelenmiştir) yüzeylerini tanımlar. Aşağıda örnekleri ele alacağız.
2. dereceden yüzey türleri
2. dereceden yüzeylerin denklemleri yalnızca Anm katsayılarının değerlerinde farklılık gösterir. Genel görünümden, sabitlerin belirli değerleri için aşağıdaki gibi sınıflandırılan çeşitli yüzeyler elde edilebilir:
- Silindirler.
- Eliptik tip.
- Hiperbolik tip.
- Konik tip.
- Parabolik tip.
- Uçaklar.
Listelenen türlerin her birinin doğal ve hayali bir biçimi vardır: hayali biçimde, gerçek noktaların yeri ya daha basit bir şekle dönüşür ya da tamamen yoktur.
Silindirler
Bu en basit türdür, çünkü nispeten karmaşık bir eğri yalnızca tabanda yer alır ve kılavuz görevi görür. Jeneratörler, tabanın bulunduğu düzleme dik olan düz çizgilerdir.
Grafik, eliptik bir silindirin özel bir hali olan dairesel bir silindiri gösterir. XY düzleminde, projeksiyonu bir elips (bizim durumumuzda bir daire) - bir kılavuz ve XZ'de - bir dikdörtgen - jeneratörler Z eksenine paralel olduğundan, genel denklemden elde etmek için, ihtiyacınız var katsayılara aşağıdaki değerleri vermek için:
Her zamanki x, y, z, x sembolleri yerine seri numarasıyla birlikte kullanılır - önemli değil.
Aslında, 1/a2ve burada belirtilen diğer sabitler, genel denklemde belirtilen katsayılarla aynıdır, ancak bunları bu biçimde yazmak gelenekseldir - bu kanonik temsil. Ayrıca, yalnızca böyle bir gösterim kullanılacaktır.
Hiperbolik silindir bu şekilde tanımlanır. Şema aynıdır - abartı kılavuz olacaktır.
y2=2px
Bir parabolik silindir biraz farklı tanımlanır: kanonik biçimi, parametre adı verilen bir p katsayısı içerir. Aslında, katsayı q=2p'ye eşittir, ancak onu sunulan iki faktöre bölmek adettendir.
Başka bir silindir türü daha var: hayali. Böyle bir silindire ait hiçbir gerçek nokta yoktur. Denklem ile tanımlanıreliptik silindir, ancak birim yerine -1'dir.
Eliptik tip
Bir elipsoid, eksenlerden biri boyunca gerilebilir (bunun boyunca yukarıda belirtilen a, b, c sabitlerinin değerlerine bağlıdır; daha büyük bir katsayının daha büyük eksene karşılık geleceği açıktır)).
Ayrıca hayali bir elipsoid var - katsayılarla çarpılan koordinatların toplamının -1: olması şartıyla
Hiperboloidler
Sabitlerden birinde eksi göründüğünde, elipsoid denklemi tek yapraklı hiperboloid denklemine dönüşür. Bu eksinin x3 koordinatından önce bulunması gerekmediği anlaşılmalıdır! Yalnızca eksenlerden hangisinin hiperboloidin dönme ekseni (veya ona paralel, çünkü karede ek terimler göründüğünde (örneğin, (x-2)2) olacağını belirler.) şeklin merkezi kayar, sonuç olarak yüzey koordinat eksenlerine paralel hareket eder). Bu, tüm 2. dereceden yüzeyler için geçerlidir.
Ayrıca, denklemlerin kanonik biçimde sunulduğunu ve sabitler değiştirilerek değiştirilebileceğini anlamalısınız (işareti korunarak!); formları (hiperboloid, koni vb.) aynı kalırken.
Bu denklem zaten iki yapraklı bir hiperboloid tarafından verilmiştir.
Konik yüzey
Koni denkleminde birim yok - sıfıra eşitlik.
Yalnızca sınırlı bir konik yüzeye koni denir. Aşağıdaki resim, aslında, grafikte iki sözde koni olacağını gösteriyor.
Önemli not: Kabul edilen tüm kurallı denklemlerde, sabitler varsayılan olarak pozitif alınır. Aksi takdirde, işaret nihai tabloyu etkileyebilir.
Koordinat düzlemleri koninin simetri düzlemleri olur, simetri merkezi orijinde bulunur.
Hayali koni denkleminde yalnızca artılar vardır; tek bir gerçek noktaya sahiptir.
Paraboloidler
Uzayda 2. dereceden yüzeyler benzer denklemlerle bile farklı şekiller alabilir. Örneğin, iki tür paraboloid vardır.
x2/a2+y2/b2=2z
Eliptik bir paraboloid, Z ekseni çizime dik olduğunda, bir elipse yansıtılacaktır.
x2/a2-y2/b2=2z
Hiperbolik paraboloid: düzlemleri ZY'ye paralel olan bölümler paraboller, düzlemleri XY'ye paralel olan bölümler ise hiperboller üretecektir.
Kesişen uçaklar
2. dereceden yüzeylerin bir düzleme dönüştüğü durumlar vardır. Bu uçaklar çeşitli şekillerde düzenlenebilir.
Önce kesişen düzlemleri düşünün:
x2/a2-y2/b2=0
Kanonik denklemin bu modifikasyonu sadece kesişen iki düzlemle sonuçlanır (hayali!); tüm gerçek noktalar denklemde eksik olan koordinat eksenindedir (kanonik - Z ekseninde).
Paralel düzlemler
y2=a2
Yalnızca bir koordinat olduğunda, 2. dereceden yüzeyler bir çift paralel düzleme dönüşür. Unutmayın, başka herhangi bir değişken Y'nin yerini alabilir; daha sonra diğer eksenlere paralel düzlemler elde edilecektir.
y2=−a2
Bu durumda hayali oluyorlar.
Çakışan uçaklar
y2=0
Böyle basit bir denklemle, bir çift düzlem tek bir düzleme dönüşür - bunlar çakışır.
Üç boyutlu bir temel durumunda, yukarıdaki denklemin y=0 doğrusunu tanımlamadığını unutmayın! Diğer iki değişkenden yoksundur, ancak bu onların değerlerinin sabit ve sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.
Bina
Bir öğrenci için en zor görevlerden biri 2. dereceden yüzeylerin yapımıdır. Eğrinin eksenlere göre açıları ve merkezin kayması göz önüne alındığında, bir koordinat sisteminden diğerine geçmek daha da zordur. Analitik bir analizle çizimin gelecekteki görünümünü tutarlı bir şekilde nasıl belirleyeceğimizi tekrar edelim.yol.
2. dereceden bir yüzey oluşturmak için şunlara ihtiyacınız var:
- denklemi kanonik forma getirin;
- Çalışılan yüzeyin türünü belirleyin;
- katsayı değerlerine göre yapılandır.
Aşağıda dikkate alınan tüm türler bulunmaktadır:
Birleştirmek için, bu tür bir görevin bir örneğini ayrıntılı olarak açıklayalım.
Örnekler
Diyelim ki bir denklem var:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60y+144=0
Hadi bunu kanonik forma getirelim. Tam kareleri ayıralım, yani mevcut terimleri, toplamın veya farkın karesinin açılımı olacak şekilde düzenleriz. Örneğin: (a+1)2=a2+2a+1 ise a2+2a +1=(a+1)2. İkinci işlemi gerçekleştireceğiz. Bu durumda, parantezleri açmak gerekli değildir, çünkü bu yalnızca hesaplamaları karmaşıklaştıracaktır, ancak ortak faktör 6'yı çıkarmak gerekir (Y'nin tam karesi ile parantez içinde):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
z değişkeni bu durumda yalnızca bir kez oluşur - şimdilik olduğu gibi bırakabilirsiniz.
Bu aşamada denklemi analiz ederiz: tüm bilinmeyenlerin önünde bir artı işareti bulunur; altıya bölündüğünde bir kalır. Bu nedenle, bir elipsoidi tanımlayan bir denklemimiz var.
144'ün 150-6'ya bölündüğünü ve ardından -6'nın sağa kaydırıldığını unutmayın. Neden bu şekilde yapılmak zorundaydı? Açıkçası, bu örnekteki en büyük bölen -6'dır, dolayısıyla ona böldükten sonrabiri sağda bırakılırsa, 144'ten tam olarak 6'yı “ertelemek” gerekir (birinin sağda olması gerektiği gerçeği, serbest bir terimin varlığıyla gösterilir - bilinmeyenle çarpılmayan bir sabit).
Her şeyi altıya bölün ve elipsoidin kanonik denklemini elde edin:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
2. dereceden yüzeylerin daha önce kullanılan sınıflandırmasında, şeklin merkezi koordinatların orijininde olduğunda özel bir durum göz önünde bulundurulur. Bu örnekte, ofsettir.
Bilinmeyen her parantezin yeni bir değişken olduğunu varsayıyoruz. Yani: a=x-1, b=y+5, c=z. Yeni koordinatlarda, elipsoidin merkezi (0, 0, 0) noktasıyla çakışır, bu nedenle a=b=c=0, buradan: x=1, y=-5, z=0. Başlangıç koordinatlarında şeklin merkezi (1, -5, 0) noktasındadır.
Elipsoid iki elipsten elde edilecektir: birincisi XY düzleminde ve ikincisi XZ düzleminde (veya YZ - önemli değil). Değişkenlerin bölündüğü katsayıların karesi kanonik denklemde alınır. Bu nedenle yukarıdaki örnekte iki, bir ve üçün köküne bölmek daha doğru olacaktır.
Y eksenine paralel olan birinci elipsin yan ekseni ikidir. X eksenine paralel olan ana eksen, ikinin iki köküdür. Y eksenine paralel ikinci elipsin küçük ekseni aynı kalır - ikiye eşittir. Ve ana eksen, Z eksenine paralel, üçün iki köküne eşittir.
Orijinal denklemden kanonik forma dönüştürülerek elde edilen veriler yardımıyla bir elipsoid çizebiliriz.
Özetleme
Bu makalede ele alınmıştırkonu oldukça kapsamlı, ama aslında, şimdi gördüğünüz gibi, çok karmaşık değil. Aslında gelişimi, yüzeylerin adlarını ve denklemlerini (ve elbette nasıl göründüklerini) ezberlediğiniz anda sona erer. Yukarıdaki örnekte, her adımı ayrıntılı olarak tartıştık, ancak denklemi kanonik forma getirmek, minimum düzeyde yüksek matematik bilgisi gerektirir ve öğrenci için herhangi bir zorluğa neden olmamalıdır.
Mevcut eşitlik üzerine gelecek planın analizi zaten daha zor bir iştir. Ancak başarılı çözümü için, elipsler, paraboller ve diğerleri gibi karşılık gelen ikinci dereceden eğrilerin nasıl oluşturulduğunu anlamak yeterlidir.
Yozlaşma vakaları - daha da basit bir bölüm. Bazı değişkenlerin olmaması nedeniyle, daha önce bahsedildiği gibi sadece hesaplamalar değil, aynı zamanda yapının kendisi de basitleştirilmiştir.
Tüm yüzey türlerini güvenle adlandırabildiğiniz, sabitleri değiştirebildiğiniz, grafiği bir veya başka bir şekle dönüştürebildiğiniz anda - konuya hakim olunacaktır.
Çalışmalarınızda başarılar!
