Herhangi bir piramidin tipik doğrusal parametreleri, tabanının kenarlarının uzunlukları, yükseklik, yan kenarlar ve özlü sözlerdir. Bununla birlikte, belirtilen parametrelerle ilişkili başka bir özellik daha vardır - bu dihedral açıdır. Makalede ne olduğunu ve nasıl bulunacağını düşünün.
Mekansal figür piramidi
Her öğrenci "piramit" kelimesini duyduğunda neyin tehlikede olduğu konusunda iyi bir fikre sahiptir. Geometrik olarak şu şekilde oluşturulabilir: belirli bir çokgen seçin, ardından uzayda bir noktayı sabitleyin ve çokgenin her köşesine bağlayın. Ortaya çıkan üç boyutlu şekil, keyfi tipte bir piramit olacaktır. Onu oluşturan çokgene taban denir ve tüm köşelerinin birleştiği nokta şeklin tepe noktasıdır. Aşağıdaki şekil beşgen bir piramidi şematik olarak göstermektedir.
Yüzeyinin sadece bir beşgenden değil, aynı zamanda beş üçgenden oluştuğu görülebilir. Genel olarak, bu üçgenlerin sayısı sayıya eşit olacaktır.çokgen bir tabanın kenarları.
Şeklin dihedral açıları
Bir düzlemde geometrik problemler düşünüldüğünde, herhangi bir açı kesişen iki düz çizgi veya parçadan oluşur. Uzayda, iki düzlemin kesişmesiyle oluşan bu lineer açılara dihedral açılar eklenir.
Uzayda bir açının işaretli tanımı söz konusu şekle uygulanırsa, iki tür dihedral açı olduğunu söyleyebiliriz:
- Piramidin tabanında. Tabanın düzlemi ve yan yüzlerden herhangi biri (üçgen) tarafından oluşturulur. Bu, piramidin taban açılarının n olduğu anlamına gelir; burada n, çokgenin kenar sayısıdır.
- Taraflar arasında (üçgenler). Bu dihedral açıların sayısı da n adettir.
Öngörülen açıların ilk türünün tabanın kenarlarında, ikinci türün - yan kenarlarda oluşturulduğuna dikkat edin.
Bir piramidin açıları nasıl hesaplanır?
Dihedral açının doğrusal açısı, ikincisinin ölçüsüdür. Bunu hesaplamak kolay değildir, çünkü piramidin yüzleri, prizmanın yüzlerinden farklı olarak, genel durumda dik açılarda kesişmez. Genel formda düzlemin denklemlerini kullanarak dihedral açıların değerlerini hesaplamak en güvenilir yöntemdir.
Üç boyutlu uzayda, bir düzlem şu ifadeyle verilir:
Ax + By + Cz + D=0
A, B, C, D bazı gerçek sayılardır. Bu denklemin kolaylığı, ilk üç işaretli sayının vektörün koordinatları olmasıdır,verilen düzleme dik olan, yani:
n¯=[A; B; C]
Eğer düzleme ait üç noktanın koordinatları biliniyorsa, o zaman bu noktalar üzerine kurulmuş iki vektörün vektör çarpımı alınarak, n¯ koordinatları elde edilebilir. n¯ vektörüne düzlem için kılavuz denir.
Tanıma göre, iki düzlemin kesişmesiyle oluşan dihedral açı, onların yön vektörleri arasındaki doğrusal açıya eşittir. Normal vektörleri eşit olan iki düzlemimiz olduğunu varsayalım:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Aralarındaki φ açısını hesaplamak için skaler çarpım özelliğini kullanabilirsiniz, ardından karşılık gelen formül:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Ya da koordinat biçiminde:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Geometrik problemleri çözerken dihedral açıları hesaplamak için yukarıdaki yöntemin nasıl kullanılacağını gösterelim.
Düzenli bir dörtgen piramidin açıları
Tabanında bir kenarı 10 cm olan bir kare olan düzgün bir piramit olduğunu varsayalım.12 cm Piramidin tabanında ve yanlarında dihedral açıların ne olduğunu hesaplamak gerekir.
Problemin durumunda verilen şekil doğru olduğundan yani simetrisi yüksek olduğundan tabandaki tüm açılar birbirine eşittir. Yan yüzlerin oluşturduğu açılar da aynıdır. Gerekli dihedral açıları hesaplamak için taban ve iki yan düzlem için yön vektörlerini buluruz. Tabanın kenarının uzunluğunu a harfiyle ve yüksekliği h ile belirtin.
Yukarıdaki resim bir dörtgen düzenli piramidi göstermektedir. Girilen koordinat sistemine göre A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını yazalım:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Şimdi ABC taban düzlemleri ve ABD ve BCD kenarları için yukarıdaki paragrafta açıklanan yönteme göre yön vektörlerini buluyoruz:
ABC için:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD için:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD için:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Artık φ açısı için uygun formülü uygulamak ve problem ifadesinden yan ve yükseklik değerlerini yerine koymak kalıyor:
ABC ve arasındaki açıABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2) + a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2) /4)))=67, 38o
ABD ve BDC arasındaki açı:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+) a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a) 2/4)))=81, 49o
Sorunun durumuna göre bulunması gereken açıların değerlerini hesapladık. Problemin çözümünde elde edilen formüller, herhangi bir a ve h değeri ile dörtgen düzenli piramitlerin dihedral açılarını belirlemek için kullanılabilir.
Üçgen düzenli piramidin açıları
Aşağıdaki şekil, tabanı düzgün bir üçgen olan bir piramidi göstermektedir. Kenarlar arasındaki dihedral açının doğru olduğu bilinmektedir. Şeklin yüksekliğinin 15 cm olduğu biliniyorsa tabanın alanını hesaplamak gerekir.
90o'a eşit bir dihedral açı şekilde ABC olarak gösterilmiştir. Yukarıdaki yöntemi kullanarak sorunu çözebilirsiniz, ancak bu durumda daha kolay yapacağız. a üçgeninin kenarını, şeklin yüksekliğini - h, apothema - hb ve kenarını gösterelimkaburga - b. Şimdi aşağıdaki formülleri yazabilirsiniz:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Piramitteki iki kenar üçgen aynı olduğundan, AB ve CB kenarları eşittir ve ABC üçgeninin bacaklarıdır. Uzunluklarını x ile gösterelim, o zaman:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Yan üçgenlerin alanlarını eşitleyerek ve özlü ifadeyi karşılık gelen ifadeyle değiştirerek, elimizde:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Eşkenar üçgenin alanı şu şekilde hesaplanır:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Yükseklik değerini problemin durumundan yerine koyarsak cevabı alırız: S=584, 567 cm2.
