Leonhard Euler (1707-1783) - ünlü İsviçreli ve Rus matematikçi, St. Petersburg Bilimler Akademisi üyesi, hayatının çoğunu Rusya'da geçirdi. Matematiksel analiz, istatistik, bilgisayar bilimi ve mantıkta en ünlüsü, kavramların kapsamını ve eleman kümelerini belirtmek için kullanılan Euler çemberidir (Euler-Venn şeması).
John Venn (1834-1923) - İngiliz filozof ve mantıkçı, Euler-Venn şemasının ortak yazarı.
Uyumlu ve uyumsuz kavramlar
Mantıkta kavram altında, homojen nesneler sınıfının temel özelliklerini yansıtan bir düşünme biçimi anlamına gelir. Bir veya bir grup kelime ile gösterilirler: “dünya haritası”, “baskın beşinci-yedinci akor”, “Pazartesi”, vb.
Bir kavramın kapsamındaki unsurların tamamen veya kısmen bir başkasının kapsamına ait olduğu durumda, uyumlu kavramlardan söz edilir. Ancak, belirli bir kavramın kapsamındaki hiçbir öğe bir başkasının kapsamına ait değilse, uyumsuz kavramlarımız var demektir.
Sırasıyla, her kavram türünün kendi olası ilişkileri vardır. Uyumlu konseptler için bunlar:
- birimlerin kimliği (denkliği);
- geçiş (kısmi eşleşme)ciltler;
- tabi olma (tabi olma).
Uyumsuz olanlar için:
- tabiiyet (koordinasyon);
- karşıt (karşıtlık);
- çelişki (çelişki).
Şematik olarak, mantıktaki kavramlar arasındaki ilişkiler genellikle Euler-Venn çemberleri kullanılarak gösterilir.
Eşdeğer ilişkiler
Bu durumda kavramlar aynı konuyu ifade eder. Buna göre, bu kavramların hacimleri tamamen aynıdır. Örneğin:
A - Sigmund Freud;
B, psikanalizin kurucusudur.
Veya:
A bir karedir;
B bir eşkenar dikdörtgendir;
C bir eşkenar dörtgendir.
Tam olarak çakışan Euler daireleri atama için kullanılır.
Kesişim (kısmi eşleşme)
Bu kategori, geçişle ilgili ortak öğelere sahip kavramları içerir. Yani kavramlardan birinin hacmi diğerinin hacmine kısmen dahil edilmiştir:
A - öğretmen;
B bir müzik aşığıdır.
Bu örnekten görülebileceği gibi, kavramların hacimleri kısmen örtüşmektedir: belirli bir grup öğretmen müzik sever olabilir ve bunun tersi de olabilir - müzik severler arasında öğretmenlik mesleğinin temsilcileri olabilir. A kavramının örneğin bir “vatandaş” ve B’nin bir “sürücü” olduğu durumda da benzer bir tutum olacaktır.
Takım (tabi olma)
Şematik olarak farklı ölçeklerdeki Euler çemberleri olarak gösterilir. ilişkilerBu durumda kavramlar arasında, alt kavramın (hacimce daha küçük) tamamen altta (hacimce daha büyük) dahil edilmesiyle karakterize edilir. Aynı zamanda, alt kavram, alt kavramı tamamen tüketmez.
Örneğin:
A - ağaç;
B - çam.
B Konsepti A kavramına tabi olacaktır. Çam ağaçlara ait olduğundan, bu örnekte A kavramı ikincil hale gelerek B kavramının kapsamını "soğurur".
Koordinasyon (koordinasyon)
İlişki, birbirini dışlayan, ancak belirli bir ortak genel çevreye ait olan iki veya daha fazla kavramı karakterize eder. Örneğin:
A – klarnet;
B - gitar;
C - keman;
D bir müzik aletidir.
A, B, C kavramları birbirleriyle ilişkili olarak kesişmezler, ancak hepsi müzik aletleri kategorisine (D kavramı) aittir.
Ters (aksine)
Kavramlar arasındaki zıt ilişkiler, bu kavramların aynı cinse ait olduğunu ima eder. Aynı zamanda, kavramlardan biri belirli özelliklere (özelliklere) sahipken, diğeri onları reddederek doğada zıt olanlarla değiştirir. Böylece, zıt anlamlılarla uğraşıyoruz. Örneğin:
A bir cücedir;
B bir devdir.
Kavramlar arasında zıt ilişkiler içeren Euler çemberiilki A kavramına, ikincisi B kavramına ve üçüncüsü diğer tüm olası kavramlara karşılık gelen üç bölüme ayrılmıştır.
Çelişki (çelişki)
Bu durumda, her iki kavram da aynı cinsin türleridir. Bir önceki örnekte olduğu gibi, kavramlardan biri belirli nitelikleri (özellikleri) belirtirken, diğeri bunları reddeder. Ancak karşıtlar ilişkisinin aksine, ikinci, karşıt kavram, reddedilen özelliklerin yerine başka alternatif özellikler getirmez. Örneğin:
A zor bir iştir;
B kolay bir iştir (A değil).
Bu tür kavramların hacmini ifade eden Euler dairesi iki bölüme ayrılmıştır - bu durumda üçüncü, ara bağlantı mevcut değildir. Dolayısıyla kavramlar aynı zamanda zıt anlamlıdır. Aynı zamanda, bunlardan biri (A) pozitif olur (bazı özellikleri onaylar) ve ikincisi (B veya A olmayan) negatif olur (karşılık gelen özelliği reddeder): “beyaz kağıt” - “beyaz kağıt değil”, “ulusal tarih” – “dış tarih” vb.
Dolayısıyla, kavramların hacimlerinin birbirine göre oranı, Euler çemberlerini tanımlayan temel bir özelliktir.
Kümeler arasındaki ilişkiler
Ayrıca, hacmi Euler daireleri tarafından görüntülenen öğe ve küme kavramlarını ayırt etmek gerekir. Küme kavramı matematik biliminden ödünç alınmıştır ve oldukça geniş bir anlama sahiptir. Mantık ve matematikteki örnekler, onu belirli bir nesne kümesi olarak gösterir. Nesnelerin kendileribu kümenin elemanları. "Birçok, bir olarak düşünülür" (Georg Kantor, küme teorisinin kurucusu).
Kümeler büyük harflerle gösterilir: A, B, C, D… vb., kümelerin öğeleri küçük harflerle gösterilir: a, b, c, d… vb. bir sınıfta, kitaplar belirli bir rafta (veya örneğin, belirli bir kitaplıktaki tüm kitaplar), günlükte sayfalar, ormandaki böğürtlenler, vb.
Sırasıyla, belirli bir küme tek bir eleman içermiyorsa, o zaman boş olarak adlandırılır ve Ø işaretiyle gösterilir. Örneğin, paralel doğruların kesişme noktaları kümesi, x2=-5.
denkleminin çözüm kümesi
Problem çözme
Euler çemberleri çok sayıda problemi çözmek için aktif olarak kullanılmaktadır. Mantıktaki örnekler, mantıksal işlemler ve küme teorisi arasındaki bağlantıyı açıkça göstermektedir. Bu durumda kavramların doğruluk tabloları kullanılır. Örneğin, A ile etiketlenen daire doğruluk bölgesini temsil eder. Yani dairenin dışındaki alan yanlışı temsil edecektir. Mantıksal bir işlem için diyagramın alanını belirlemek için, A ve B öğeleri için değerlerinin doğru olacağı Euler dairesini tanımlayan alanları gölgelemelisiniz.
Euler dairelerinin kullanımı, çeşitli endüstrilerde geniş pratik uygulama alanı bulmuştur. Örneğin, profesyonel bir seçim olan bir durumda. Konu gelecekteki bir mesleğin seçimi ile ilgiliyse, aşağıdaki kriterlere göre yönlendirilebilir:
W – ne yapmayı severim?
D – ne yapıyorum?
P– nasıl iyi para kazanabilirim?
Şunu bir diyagram olarak çizelim: Euler çemberleri (mantık - kesişim ilişkisindeki örnekler):
Sonuç, üç çemberin kesişim noktasında olacak meslekler olacaktır.
Euler-Venn çemberleri, kombinasyonları ve özellikleri hesaplarken matematikte (küme teorisi) ayrı bir yer tutar. Öğeler kümesinin Euler daireleri, evrensel kümeyi (U) gösteren bir dikdörtgen görüntüsü içine alınır. Daireler yerine başka kapalı şekiller de kullanılabilir ama bunun özü değişmez. Rakamlar, problemin koşullarına göre (en genel durumda) birbiriyle kesişir. Ayrıca, bu rakamlar buna göre etiketlenmelidir. Söz konusu kümelerin elemanları, diyagramın farklı bölümleri içinde yer alan noktalar olabilir. Buna dayanarak, belirli alanları gölgeleyebilir, böylece yeni oluşturulan kümeleri belirleyebilirsiniz.
Bu kümelerle temel matematiksel işlemleri gerçekleştirmek mümkündür: toplama (eleman kümelerinin toplamı), çıkarma (fark), çarpma (çarpım). Ayrıca Euler-Venn diyagramları sayesinde kümeleri saymadan, içerdikleri eleman sayısına göre karşılaştırmak mümkündür.
