Bildiğiniz gibi, ifadeleri kuvvetlerle çarparken, üsleri her zaman toplanır (abac=ab+ c). Bu matematiksel yasa Arşimet tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen bir tamsayı göstergeleri tablosu oluşturdu. Logaritmaların daha fazla keşfedilmesine hizmet eden onlardı. Bu işlevi kullanma örnekleri, hantal çarpmayı basit toplamaya basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumak için 10 dakika harcarsanız, size logaritmaların ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dil.
Matematikte tanım
Logaritma şu formun bir ifadesidir: logab=c c", sonunda " değerini elde etmek için "a" tabanını yükseltmeniz gerekir. b". Örnekleri kullanarak logaritmayı analiz edelim, diyelim ki log28 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir derece bulmanız gerekiyor ki, 2'den gerekli dereceye 8 alacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra, 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru, çünkü2, 3'ün kuvvetine yükseltildiğinde 8, cevabını verir.
Logaritma çeşitleri
Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar korkutucu değil, ana şey onların genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç ayrı türde logaritmik ifade vardır:
- Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e=2, 7).
- Ondalık logaritma lg a, burada taban 10 sayısıdır.
- herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.
Her biri, basitleştirme, az altma ve ardından logaritmik teoremler kullanılarak tek bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, özelliklerini ve bunları çözmedeki eylem sırasını hatırlamanız gerekir.
Kurallar ve bazı kısıtlamalar
Matematikte, bir aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışılamaz ve doğru olan birkaç kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayılardan çift kök almak da mümkün değildir. Logaritmaların da kendi kuralları vardır, bunları takip ederek uzun ve geniş logaritmik ifadelerle bile nasıl çalışacağınızı kolayca öğrenebilirsiniz:
- "a"nın tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü herhangi bir dereceye kadar "1" ve "0" her zaman değerlerine eşit;
- > 0 ise, o zaman ab>0,"c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıktı.
Logaritma nasıl çözülür?
Örneğin, 10x=100 denkleminin cevabını bulma görevi verildi. Çok kolay, böyle bir güç seçmeniz gerekiyor, on numarayı yükseltiyoruz, biz 100 olsun. Bu, elbette, ikinci dereceden güç! 102=100.
Şimdi bu ifadeyi logaritmik olarak gösterelim. Log10100=2 elde ederiz. Logaritma çözerken, tüm eylemler pratikte, verilen bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanının girilmesi gereken gücü bulmaya yakınsar.
Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmen gerekir. Şuna benziyor:
Gördüğünüz gibi, teknik bir zihniyetiniz ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak daha büyük değerler bir güç tablosu gerektirecektir. Karmaşık matematiksel konularda hiçbir şey anlamayanlar tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (taban a), sayıların üst satırı, a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kavşakta hücreler, cevap olan sayıların değerlerini tanımlar (ac=b). Örneğin, 10 numaralı ilk hücreyi alalım ve karesini alalım, iki hücremizin kesişme noktasında belirtilen 100 değerini alıyoruz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlar!
Denklemler ve eşitsizlikler
Görünüşe göreBelirli koşullar altında, üs logaritmadır. Bu nedenle, herhangi bir matematiksel sayısal ifade, logaritmik bir denklem olarak yazılabilir. Örneğin, 34=81, 81 ile 3 tabanının logaritması olarak yazılabilir (log381=4). Negatif dereceler için kurallar aynıdır: 2-5=1/32 logaritma olarak yazılır, log2 alırız (1/32)=-5. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri "logaritmalar" konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra denklemlerin örneklerini ve çözümlerini biraz daha aşağıda ele alacağız. Şimdilik eşitsizliklerin nasıl göründüğüne ve bunları denklemlerden nasıl ayırt edeceğimize bakalım.
Aşağıdaki ifade verilir: log2(x-1) > 3 - bu bir logaritmik eşitsizliktir, çünkü bilinmeyen "x" değeri, logaritma. İfade ayrıca iki değeri karşılaştırır: istenen sayının taban iki logaritması üç sayısından büyüktür.
Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örnek - logaritma2x=√9) ima etmesidir cevapta bir veya daha fazla belirli sayısal değer, bir eşitsizliği çözerken, hem kabul edilebilir değerler aralığı hem de bu fonksiyonun kesme noktaları belirlenir. Sonuç olarak, cevap, denklemin cevabındaki gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, sürekli bir dizi veya sayı kümesidir.
Logaritmalarla ilgili temel teoremler
Logaritmanın değerlerini bulmak için ilkel görevleri çözerken özelliklerini bilmiyor olabilirsiniz. Ancak logaritmik denklemler veya eşitsizlikler söz konusu olduğunda her şeyden önce logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Denklem örnekleriyle daha sonra tanışacağız, önce her bir özelliği daha ayrıntılı olarak analiz edelim.
- Temel kimlik şuna benzer: alogaB=B. Yalnızca a 0'dan büyükse, bire eşit değilse ve B sıfırdan büyükse geçerlidir.
- Ürünün logaritması aşağıdaki formülle gösterilebilir: logd(s1s2)=logds1 + logds2. Bu durumda zorunlu koşul: d, s1 ve s2 > 0; a≠1. Bu logaritma formülünü örneklerle ve bir çözümle ispatlayabilirsiniz. Let logas1 =f1 and logas 2=f2, ardından af1=s1, a f2=s2. Şunu anlıyoruz s1s2 =af1a f2=af1+f2 (derece özellikleri) ve ayrıca tanım gereği: loga(s1 s2)=f1+ f2=log as1 + logas2, ki kanıtlanacaktı.
- Bölümün logaritması şuna benzer: loga(s1/s2)=log as1- logas2.
- Bir formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: logaqbn =n/q logab.
Bu formüle "logaritma derecesinin özelliği" denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve şaşırtıcı değildir, çünkü tüm matematik düzenli varsayımlara dayanır. Kanıta bakalım.
Let logab=t, at=b elde ederiz. Her iki tarafı da m kuvvetine yükseltirseniz: atn=b;
ama çünkü atn=(aq)nt/q=b , dolayısıyla logaq bn=(nt)/t, ardından oturum açınaq bn=n/q günlükab. Teorem kanıtlandı.
Sorun ve eşitsizlik örnekleri
En yaygın logaritma problemi türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Hemen hemen tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca matematik sınavlarının zorunlu bölümünde yer alırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür problemleri nasıl doğru çözeceğinizi bilmeniz gerekir.
Maalesef logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya genel bir forma indirgenip indirgenemeyeceğini öğrenmelisiniz. Özelliklerini doğru kullanırsanız, uzun logaritmik ifadeleri basitleştirebilirsiniz. Onları yakında tanıyalım.
Logaritmik denklemleri çözerken,önümüzde ne tür bir logaritmanın olduğunu belirlemek gerekir: Bir ifade örneği, doğal bir logaritma veya ondalık sayı içerebilir.
İşte ondalık logaritma örnekleri: ln100, ln1026. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olma derecesini belirlemeniz gerektiği gerçeğine dayanıyor. Doğal logaritmaların çözümleri için logaritmik özdeşlikler veya bunların özellikleri uygulanmalıdır. Çeşitli türlerde logaritmik problem çözme örneklerine bakalım.
Logaritma formülleri nasıl kullanılır: örnekler ve çözümlerle
Öyleyse, logaritmalarla ilgili ana teoremleri kullanma örneklerine bakalım.
- Çarpının logaritmasının özelliği, b sayısının büyük bir değerini daha basit çarpanlara ayırmanın gerekli olduğu görevlerde kullanılabilir. Örneğin, log24 + log2128=log2(4128)=log2512. Cevap 9.
- log48=log22 23 =3/2 log22=1, 5 - gördüğünüz gibi logaritma derecesinin dördüncü özelliğini uygulayarak ilk bakışta çözmeyi başardık karmaşık ve çözülemez bir ifade. Tek yapmanız gereken tabanı çarpanlarına ayırmak ve ardından logaritmanın işaretinin gücünü almak.
Sınavdan ödevler
Logaritmalar genellikle giriş sınavlarında bulunur, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik sorun bulunur. Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde mevcut değildir (en çoksınavın kolay test kısmı), aynı zamanda C kısmında (en zor ve hacimli görevler). Sınav, "Doğal logaritmalar" konusu hakkında doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.
Örnekler ve problem çözümleri sınavın resmi sürümlerinden alınmıştır. Bakalım bu tür görevler nasıl çözülüyor.
Given log2(2x-1)=4. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazın log2(2x-1)=22, logaritmanın tanımına göre 2x-1=24 elde ederiz, dolayısıyla 2x=17; x=8, 5.
Logaritma işaretinin altındaki ifadeleri içeren tüm denklemleri kolayca çözebileceğiniz birkaç yönergeyi izleyerek.
- Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaları aynı tabana indirgemek en iyisidir.
- Logaritma işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak belirtilir, bu nedenle logaritma işaretinin altındaki ifadenin üssü ve tabanı çarpılırken logaritmanın altında kalan ifade pozitif olmalıdır.
