Dikkatinize sunulan yazımızda matematiksel modellerden örnekler sunuyoruz. Ayrıca model oluşturma aşamalarına dikkat edeceğiz ve matematiksel modelleme ile ilgili bazı görevleri analiz edeceğiz.
Bir sorumuz daha ekonomideki matematiksel modeller, örnekleri, tanımını biraz sonra ele alacağımız ile ilgili. Sohbetimize "model" kavramıyla başlamayı, kısaca sınıflandırmalarını düşünmeyi ve ana sorularımıza geçmeyi öneriyoruz.
"Model" kavramı
Sıklıkla "model" kelimesini duyarız. Bu ne? Bu terimin birçok tanımı var, işte bunlardan sadece üçü:
- Bu nesnenin orijinalinin bazı özelliklerini veya özelliklerini vb. yansıtan bilgileri almak ve depolamak için oluşturulan belirli bir nesne (bu belirli nesne farklı biçimlerde ifade edilebilir: zihinsel, işaretler kullanarak açıklama, ve benzeri);
- modeli ayrıca herhangi bir özel durumun, yaşamın veyayönetsel;
- model, herhangi bir nesnenin küçültülmüş bir kopyası olarak hizmet edebilir (model yapıyı ve ilişkileri yansıttığından, daha ayrıntılı çalışma ve analiz için oluşturulurlar).
Daha önce söylenen her şeye dayanarak, küçük bir sonuç çıkarabiliriz: model, karmaşık bir sistemi veya nesneyi ayrıntılı olarak incelemenize olanak tanır.
Tüm modeller bir dizi kritere göre sınıflandırılabilir:
- kullanım alanına göre (eğitimsel, deneysel, bilimsel ve teknik, oyun, simülasyon);
- dinamiklere göre (statik ve dinamik);
- bilgi dalına göre (fiziksel, kimyasal, coğrafi, tarihsel, sosyolojik, ekonomik, matematiksel);
- Sunum yoluyla (materyal ve bilgi amaçlı).
Bilgi modelleri sırasıyla işaret ve sözel olarak ikiye ayrılır. Ve ikonik - bilgisayarda ve bilgisayar dışında. Şimdi matematiksel model örneklerinin ayrıntılı değerlendirmesine geçelim.
Matematiksel model
Tahmin edebileceğiniz gibi, matematiksel bir model, özel matematiksel semboller kullanarak bir nesnenin veya olgunun bazı özelliklerini yansıtır. Çevredeki dünyanın kalıplarını kendi özel dilinde modellemek için matematik gereklidir.
Matematiksel modelleme yöntemi çok uzun zaman önce, binlerce yıl önce, bu bilimin ortaya çıkışıyla birlikte ortaya çıktı. Ancak, bu modelleme yönteminin geliştirilmesine yönelik itici güç, bilgisayarların (elektronik bilgisayarlar) ortaya çıkmasıyla verildi.
Şimdi sınıflandırmaya geçelim. Bazı işaretlere göre de yapılabilir. Bunlaraşağıdaki tabloda sunulmaktadır.
| Bilim dalına göre sınıflandırma | Fizik, sosyoloji, kimya ve benzeri alanlarda matematiksel modellerin uygulanması |
| Modelleme sürecinde kullanılan matematiksel aparata göre | Diferansiyel denklemlere, ayrık cebirsel dönüşümlere ve benzerlerine dayalı modeller |
| Hedefleri modelleyerek | Bu prensibe göre tanımlayıcı, optimizasyon, çok kriterli, oyun ve simülasyon modelleri vardır |
Modellemenin genel kalıplarını ve oluşturulan modellerin hedeflerini yansıttığı için son sınıflandırmaya durup daha yakından bakmayı öneriyoruz.
Tanımlayıcı modeller
Bu bölümde, tanımlayıcı matematiksel modeller üzerinde daha ayrıntılı olarak durmayı öneriyoruz. Her şeyin çok net olması için bir örnek verilecektir.
Başlangıç olarak, bu görünüm açıklayıcı olarak adlandırılabilir. Bunun nedeni sadece hesaplamalar ve tahminler yapmamızdır ancak olayın sonucunu hiçbir şekilde etkileyemiyoruz.
Tarif edici bir matematiksel modelin çarpıcı bir örneği, güneş sistemimizin uçsuz bucaksız alanını işgal eden bir kuyruklu yıldızın uçuş yolunun, hızının ve Dünya'ya olan mesafesinin hesaplanmasıdır. Bu model açıklayıcıdır, çünkü elde edilen tüm sonuçlar bizi yalnızca bir tür tehlikeye karşı uyarabilir. Olayın sonucunu etkiler, ne yazık ki, bizYapabilir. Ancak elde edilen hesaplamalara göre Dünya'da hayat kurtarmak için her türlü önlemi almak mümkün.
Optimizasyon modelleri
Şimdi örnekleri farklı durumlar olabilen ekonomik ve matematiksel modellerden biraz bahsedeceğiz. Bu durumda belirli koşullarda doğru cevabı bulmaya yardımcı olan modellerden bahsediyoruz. Bazı parametrelere sahip olmaları gerekir. Çok açık hale getirmek için tarım bölümünden bir örnek düşünün.
Bir tahıl ambarımız var ama tahıl çok çabuk bozuluyor. Bu durumda doğru sıcaklık rejimini seçmemiz ve depolama sürecini optimize etmemiz gerekiyor.
Böylece "optimizasyon modeli" kavramını tanımlayabiliriz. Matematiksel anlamda, bu, çözümü belirli bir ekonomik durumda en uygun çözümü bulmaya yardımcı olan bir denklem sistemidir (hem doğrusal hem de değil). Matematiksel bir model (optimizasyon) örneğini ele aldık, ancak şunu eklemek isterim: bu tür aşırı problemler sınıfına girer, ekonomik sistemin işleyişini tanımlamaya yardımcı olurlar.
Bir nüansa daha dikkat edin: modeller farklı nitelikte olabilir (aşağıdaki tabloya bakın).
| deterministik | Bu durumda, sonuç giriş verilerine bağlıdır |
| stokastik | Rastgele süreçlerin açıklaması. Bu durumda sonuç tanımsız kalır |
Çok kriterli modeller
Şimdi sizi biraz hakkında konuşmaya davet ediyoruzçok amaçlı optimizasyonun matematiksel modeli. Ondan önce, herhangi bir kritere göre bir süreci optimize etmek için bir matematiksel model örneği vermiştik, peki ya onlardan çok varsa?
Çok kriterli bir görevin çarpıcı bir örneği, geniş insan grupları için uygun, sağlıklı ve aynı zamanda ekonomik beslenmenin organizasyonudur. Bu tür görevler genellikle orduda, okul kantinlerinde, yaz kamplarında, hastanelerde vb. bulunur.
Bu problemde bize hangi kriterler veriliyor?
- Yiyecekler sağlıklı olmalı.
- Yiyecek harcamaları minimumda tutulmalıdır.
Gördüğünüz gibi bu hedefler hiç örtüşmüyor. Bu, bir problemi çözerken en uygun çözümü, iki kriter arasındaki dengeyi aramak gerektiği anlamına gelir.
Oyun Modelleri
Oyun modellerinden bahsetmişken, "oyun teorisi" kavramını anlamak gerekir. Basitçe söylemek gerekirse, bu modeller gerçek çatışmaların matematiksel modellerini yansıtır. Gerçek bir çatışmanın aksine, oyun matematiksel modelinin kendine özgü kuralları olduğunu unutmayın.
Artık oyun teorisinden, oyun modelinin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olacak minimum bilgi olacak. Ve bu nedenle, modelde genellikle oyuncu olarak adlandırılan taraflar (iki veya daha fazla) mutlaka vardır.
Tüm modellerin bazı özellikleri vardır.
| Konular | Oyuncu sayısı |
| Strateji | Olası işlemler için seçenekler |
| Ödeme | Çatışmanın sonucu (kazan ya da kaybet). |
Oyun modeli eşleştirilebilir veya birden fazla olabilir. İki öznemiz varsa, çatışma eşleştirilir, eğer daha fazlaysa - çoklu. Antagonistik bir oyun da ayırt edilebilir, buna sıfır toplamlı oyun da denir. Bu, katılımcılardan birinin kazancının diğerinin kaybına eşit olduğu bir modeldir.
Simülasyon modelleri
Bu bölümde simülasyon matematiksel modellerine dikkat edeceğiz. Görev örnekleri:
- mikroorganizma sayısının dinamiği modeli;
- moleküllerin hareketinin modeli vb.
Bu durumda gerçek süreçlere mümkün olduğunca yakın modellerden bahsediyoruz. Genel olarak, doğadaki herhangi bir tezahürü taklit ederler. İlk durumda, örneğin, bir kolonideki karınca sayısının dinamiklerini modelleyebiliriz. Bu durumda, her bireyin kaderini gözlemleyebilirsiniz. Bu durumda, matematiksel açıklama nadiren kullanılır, daha sık yazılı koşullar vardır:
- beş gün sonra dişi yumurtlar;
- 20 gün sonra karınca ölür, vb.
Böylece simülasyon modelleri büyük bir sistemi tanımlamak için kullanılır. Matematiksel sonuç, alınan istatistiksel verilerin işlenmesidir.
Gereksinimler
Çok önemliBu tür bir model için aşağıdaki tabloda verilenler de dahil olmak üzere bazı gereksinimler olduğunu unutmayın.
| Çok yönlülük | Bu özellik, aynı türdeki nesne gruplarını tanımlarken aynı modeli kullanmanıza olanak tanır. Evrensel matematiksel modellerin incelenen nesnenin fiziksel yapısından tamamen bağımsız olduğuna dikkat etmek önemlidir |
| Yeterlilik | Bu özelliğin gerçek süreçleri mümkün olduğunca doğru bir şekilde yeniden oluşturmanıza olanak tanıdığını burada anlamak önemlidir. İşlem problemlerinde matematiksel modellemenin bu özelliği çok önemlidir. Bir modelin bir örneği, bir gaz sisteminin kullanımını optimize etme sürecidir. Bu durumda, hesaplanan ve gerçek göstergeler karşılaştırılır, bunun sonucunda derlenen modelin doğruluğu kontrol edilir |
| Doğruluk | Bu gereklilik, matematiksel modeli hesaplarken elde ettiğimiz değerler ile gerçek nesnemizin giriş parametrelerinin çakışmasını ifade eder |
| Ekonomi | Herhangi bir matematiksel model için maliyet etkinliği gereksinimi, uygulama maliyetleriyle tanımlanır. Modelle çalışma manuel olarak yapılırsa, bu matematiksel modeli kullanarak bir problemi çözmenin ne kadar zaman alacağını hesaplamak gerekir. Bilgisayar destekli tasarımdan bahsediyorsak, zaman ve bilgisayar belleği maliyetinin göstergeleri hesaplanır |
Aşamalarmodelleme
Toplamda, matematiksel modellemede dört aşamayı ayırt etmek gelenekseldir.
- Modelin parçalarını birbirine bağlayan yasaları formüle edin.
- Matematiksel problemlerin araştırılması.
- Pratik ve teorik sonuçların tesadüfünü netleştirmek.
- Modelin analizi ve modernizasyonu.
Ekonomik ve matematiksel model
Bu bölümde, ekonomik ve matematiksel modeller konusunu kısaca vurgulayacağız. Görev örnekleri:
- Et ürünleri üretimi için bir üretim programının oluşturulması, üretimden maksimum kâr sağlanması;
- Bir mobilya fabrikasında üretilecek en uygun masa ve sandalye sayısını hesaplayarak organizasyonun karını maksimize edin, vb.
Ekonomik-matematiksel model, matematiksel terimler ve işaretler kullanılarak ifade edilen bir ekonomik soyutlama gösterir.
Bilgisayar matematiksel modeli
Bir bilgisayar matematiksel modeline örnekler:
- akış şemaları, diyagramlar, tablolar vb. kullanan hidrolik sorunları;
- katı mekanikteki problemler vb.
Bilgisayar modeli, şu şekilde sunulan bir nesne veya sistemin görüntüsüdür:
- tablolar;
- akış şemaları;
- diyagramlar;
- grafikler vb.
Aynı zamanda bu model sistemin yapısını ve ara bağlantılarını yansıtır.
Ekonomik-matematiksel bir model oluşturmak
Ekonomik olanın ne olduğundan zaten bahsetmiştik.matematiksel model. Sorunu çözmenin bir örneği şu anda dikkate alınacaktır. Ürün çeşitliliğindeki bir değişiklikle artan kâr rezervini belirlemek için üretim programını analiz etmemiz gerekiyor.
Problemi tam olarak ele almayacağız, sadece ekonomik ve matematiksel bir model oluşturacağız. Görevimizin kriteri kar maksimizasyonudur. O zaman fonksiyon şu şekildedir: Л=р1х1+р2х2… maksimuma yönelir. Bu modelde p, birim başına kar, x üretilen birim sayısıdır. Ayrıca, oluşturulan modele göre hesaplamalar yapmak ve özetlemek gerekir.
Basit bir matematiksel model oluşturma örneği
Görev. Balıkçı şu avla geri döndü:
- 8 balık - kuzey denizlerinin sakinleri;
- Avlanmanın %20'si - güney denizlerinin sakinleri;
- yerel nehirden tek bir balık bulunamadı.
Dükkandan kaç balık aldı?
Yani, bu problemin matematiksel bir modelini oluşturmaya bir örnek aşağıdaki gibidir. Toplam balık sayısını x olarak gösteriyoruz. Bu koşulu takiben, 0.2x güney enlemlerinde yaşayan balıkların sayısıdır. Şimdi mevcut tüm bilgileri birleştiriyoruz ve problemin matematiksel modelini alıyoruz: x=0, 2x+8. Denklemi çözüyoruz ve asıl sorunun cevabını alıyoruz: Mağazadan 10 balık aldı.
