Üniversite matematiğinin en zor ve anlaşılmaz konularından biri integrasyon ve diferansiyel hesaptır. Bu kavramları bilmeniz, anlamanız ve uygulayabilmeniz gerekir. Birçok üniversite teknik disiplini, diferansiyellere ve integrallere bağlıdır.
Denklemler hakkında kısa bilgi
Bu denklemler eğitim sistemindeki en önemli matematiksel kavramlardan biridir. Diferansiyel denklem, bağımsız değişkenleri, bulunacak fonksiyonu ve bu fonksiyonun türevlerini bağımsız olduğu varsayılan değişkenlerle ilişkilendiren bir denklemdir. Bir değişkenin fonksiyonunu bulmak için diferansiyel hesap, sıradan olarak adlandırılır. İstenen işlev birkaç değişkene bağlıysa, kısmi diferansiyel denklemden söz edilir.
Aslında, denkleme kesin bir cevap bulmak, entegrasyona bağlıdır ve çözüm yöntemi denklemin türüne göre belirlenir.
Birinci dereceden denklemler
Birinci dereceden diferansiyel denklem, bir değişkeni, istenen bir fonksiyonu ve onun birinci türevini tanımlayabilen bir denklemdir. Bu tür denklemler üç biçimde verilebilir: açık, örtük, diferansiyel.
Çözülmesi gereken kavramlar
Başlangıç koşulu - bağımsız bir değişkenin belirli bir değeri için istenen fonksiyonun değerinin ayarlanması.
Diferansiyel denklemin çözümü - orijinal denklemde tam olarak ikame edilen herhangi bir türevlenebilir fonksiyon, onu özdeş olarak eşit hale getirir. Açık olmayan elde edilen çözüm, denklemin integralidir.
Diferansiyel denklemlerin genel çözümü, aşağıdaki yargıları karşılayabilen bir y=y(x;C) fonksiyonudur:
- Bir işlevin yalnızca bir rastgele sabiti С.
- Sonuçlanan fonksiyon, herhangi bir keyfi sabitin herhangi bir rastgele değeri için denklemin bir çözümü olmalıdır.
- Verilen bir başlangıç koşuluyla, rastgele bir sabit benzersiz bir şekilde tanımlanabilir, böylece elde edilen özel çözüm, verilen erken başlangıç koşuluyla tutarlı olur.
olabilir
Pratikte, Cauchy problemi sıklıkla kullanılır - belirli ve başlangıçta ayarlanan koşulla karşılaştırılabilecek bir çözüm bulmak.
Cauchy teoremi, diferansiyel analizde belirli bir çözümün varlığını ve benzersizliğini vurgulayan bir teoremdir.
Geometrik anlam:
- Genel çözüm y=y(x;C)denklem, integral eğrilerin toplam sayısıdır.
- Diferansiyel hesap, XOY düzlemindeki bir noktanın koordinatlarını ve integral eğriye çizilen teğeti bağlamanıza olanak tanır.
- Başlangıç koşulunun ayarlanması, düzlemde bir noktanın ayarlanması anlamına gelir.
- Cauchy problemini çözmek için, denklemin aynı çözümünü temsil eden tüm integral eğriler kümesinden, mümkün olan tek noktadan geçen sadece birini seçmenin gerekli olduğu anlamına gelir.
- Cauchy teoreminin koşullarının bir noktada yerine getirilmesi, bir integral eğrinin (ayrıca yalnızca bir tane) düzlemde seçilen noktadan zorunlu olarak geçtiği anlamına gelir.
Ayrılabilir değişken denklemi
Tanım olarak, bir diferansiyel denklem, sağ tarafının, biri yalnızca "x"e, diğeri yalnızca "y"ye bağlı olan iki fonksiyonun bir çarpımı (bazen bir oran) olarak tanımladığı veya yansıtıldığı bir denklemdir. ". Bu tür için açık bir örnek: y'=f1(x)f2(y).
Belirli bir formun denklemlerini çözmek için önce y'=dy/dx türevini dönüştürmelisiniz. Ardından, denklemi manipüle ederek, denklemin iki parçasını entegre edebileceğiniz bir forma getirmeniz gerekir. Gerekli dönüşümlerden sonra her iki parçayı da entegre edip sonucu sadeleştiriyoruz.
Homojen denklemler
Tanım gereği, bir diferansiyel denklem aşağıdaki forma sahipse homojen olarak adlandırılabilir: y'=g(y/x).
Bu durumda, en sık y/x=ikamesi kullanılırt(x).
Bu tür denklemleri çözmek için homojen bir denklemi ayrılabilir değişkenli bir forma indirgemek gerekir. Bunu yapmak için aşağıdaki işlemleri gerçekleştirmelisiniz:
- Orijinal fonksiyonun türevini herhangi bir orijinal fonksiyondan yeni bir denklem olarak ifade eden görüntüleme.
- Bir sonraki adım, elde edilen fonksiyonu f(x;y)=g(y/x) formuna dönüştürmektir. Daha basit bir deyişle, denklemin yalnızca y/x oranını ve sabitleri içermesini sağlayın.
- Aşağıdaki değişimi yapın: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Yapılan ikame, denklemdeki değişkenleri bölmeye yardımcı olacak ve yavaş yavaş daha basit bir forma getirecektir.
Doğrusal denklemler
Bu tür denklemlerin tanımı şu şekildedir: lineer diferansiyel denklem, sağ tarafının orijinal fonksiyona göre lineer bir ifade olarak ifade edildiği bir denklemdir. Bu durumda istenen fonksiyon: y'=a(x)y + b(x).
Tanımı şu şekilde yeniden ifade edelim: orijinal fonksiyon ve türevi birinci dereceden denkleme dahil edilir ve birbirleriyle çarpılmazsa, 1. mertebeden herhangi bir denklem, formunda lineer hale gelecektir. Doğrusal bir diferansiyel denklemin "klasik biçimi" aşağıdaki yapıya sahiptir: y' + P(x)y=Q(x).
Böyle bir denklemi çözmeden önce "klasik forma" dönüştürülmelidir. Bir sonraki adım, çözüm yönteminin seçimi olacaktır: Bernoulli yöntemi veya Lagrange yöntemi.
Denklemi şununla çözmeBernoulli tarafından tanıtılan yöntemi kullanarak, bir lineer diferansiyel denklemin, orijinal formlarında verilen U(x) ve V(x) fonksiyonlarına göre ayrı değişkenli iki denkleme ikame edilmesini ve indirgenmesini ifade eder.
Lagrange yöntemi, orijinal denkleme genel bir çözüm bulmaktır.
- Homojen denklemin aynı çözümünü bulmak gerekir. Aramadan sonra, y=y(x, C) fonksiyonuna sahibiz, burada C keyfi bir sabittir.
- Orijinal denklemin çözümünü aynı formda arıyoruz ama C=C(x) olduğunu düşünüyoruz. y=y(x, C(x)) fonksiyonunu orijinal denklemde yerine koyarız, C(x) fonksiyonunu buluruz ve genel orijinal denklemin çözümünü yazarız.
Bernoulli denklemi
Bernoulli denklemi - eğer hesabın sağ tarafı f(x;y)=a(x)y + b(x)yk şeklini alıyorsa, burada k herhangi bir olası rasyonel sayısal değerdir, k=0 ve k=1.
olduğu örnek durumlar
K=1 ise, hesap ayrılabilir hale gelir ve k=0 olduğunda denklem doğrusal kalır.
Bu tür bir denklemi çözmenin genel durumunu ele alalım. Standart Bernoulli denklemine sahibiz. Doğrusal olana indirgenmelidir, bunun için denklemi yk'ye bölmeniz gerekir. Bu işlemden sonra z(x)=y1-k'yi değiştirin. Bir dizi dönüşümden sonra denklem, çoğunlukla ikame yöntemi z=UV.
ile doğrusal bir denkleme indirgenecektir.
Toplam diferansiyellerde denklemler
Tanım. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 yapısına sahip bir denkleme tam denklem denirdiferansiyeller, aşağıdaki koşul karşılanırsa (bu koşulda "d" kısmi bir diferansiyeldir): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Daha önce ele alınan tüm birinci mertebeden diferansiyel denklemler diferansiyel olarak görüntülenebilir.
Bu tür hesaplamalar birkaç yolla çözülür. Ancak, hepsi bir durum kontrolü ile başlar. Koşul sağlanırsa, denklemin en soldaki bölgesi henüz bilinmeyen U(x;y) fonksiyonunun toplam diferansiyeli olur. Ardından, denkleme göre, dU (x; y) sıfıra eşit olacak ve bu nedenle denklemin toplam diferansiyellerdeki aynı integrali U (x; y) u003d C biçiminde gösterilecektir. Bu nedenle, denklemin çözümü U (x; y) fonksiyonunu bulmaya indirgenir.
Bütünleştirici faktör
Eğer denklemde dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx koşulu sağlanmıyorsa, denklem yukarıda ele aldığımız forma sahip değildir. Ancak bazen, çarpıldığında denklemin tam "farklı" bir denklem şeklini aldığı bir M(x;y) fonksiyonunu seçmek mümkündür. M (x;y) işlevine integral alma faktörü denir.
Bir entegratör, yalnızca tek bir değişkenin işlevi olduğunda bulunabilir.
