Matrix, matematikte özel bir nesnedir. Belirli sayıda satır ve sütundan oluşan dikdörtgen veya kare bir tablo şeklinde tasvir edilmiştir. Matematikte, boyut veya içerik bakımından farklılık gösteren çok çeşitli matris türleri vardır. Satır ve sütun sayılarına sipariş denir. Bu nesneler matematikte lineer denklem sistemlerinin yazılmasını organize etmek ve sonuçlarını uygun şekilde aramak için kullanılır. Bir matris kullanan denklemler, Carl Gauss, Gabriel Cramer yöntemi, küçükler ve cebirsel toplamalar ve diğer birçok yolla çözülür. Matrislerle çalışırken temel beceri, onları standart bir forma getirmektir. Ancak önce, matematikçiler tarafından ne tür matrislerin ayırt edildiğini bulalım.
Boş tür
Bu tür matrisin tüm bileşenleri sıfırdır. Bu arada, satır ve sütun sayısı tamamen farklıdır.
Kare tipi
Bu tip matrisin sütun ve satır sayısı aynıdır. Başka bir deyişle, "kare" şekilli bir tablodur. Sütunlarının (veya satırlarının) sayısına sıra denir. Özel durumlar, ikinci mertebeden (matris 2x2), dördüncü mertebeden (4x4), onuncu (10x10), onyedinci (17x17) ve benzeri bir matrisin varlığıdır.
Sütun vektörü
Bu, üç sayısal değer içeren yalnızca bir sütun içeren en basit matris türlerinden biridir. Lineer denklem sistemlerinde bir dizi serbest terimi (değişkenlerden bağımsız sayılar) temsil eder.
Satır vektörü
Bir öncekine benzer görünüm. Sırasıyla tek satırda düzenlenmiş üç sayısal öğeden oluşur.
Çapraz tip
Yalnızca ana köşegenin bileşenleri (yeşil renkle vurgulanmıştır) matrisin köşegen biçiminde sayısal değerler alır. Ana köşegen, sırasıyla sol üst köşedeki eleman ile başlar ve sağ alt köşedeki eleman ile biter. Geri kalan bileşenler sıfırdır. Köşegen tipi yalnızca belirli bir sıradaki kare matristir. Köşegen formun matrisleri arasında skaler bir matris seçilebilir. Tüm bileşenleri aynı değerleri alır.
Kimlik matrisi
Köşegen matrisin bir alt türü. Tüm sayısal değerleri birimlerdir. Tek tip matris tablosu kullanarak, temel dönüşümlerini gerçekleştirin veya orijinal matrisin tersini bulun.
Kanonik tip
Bir matrisin kanonik formu ana formlardan biri olarak kabul edilir; ona döküm genellikle çalışmak için gereklidir. Kanonik matristeki satır ve sütun sayısı farklıdır, mutlaka kare tipine ait değildir. Birim matrisine biraz benzer, ancak kendi durumunda, ana köşegenin tüm bileşenleri bire eşit bir değer almaz. İki veya dört ana diyagonal birim olabilir (hepsi matrisin uzunluğuna ve genişliğine bağlıdır). Veya hiç birim olmayabilir (o zaman sıfır olarak kabul edilir). Kanonik türün kalan bileşenleri ile köşegen ve özdeşliğin öğeleri sıfıra eşittir.
Üçgen türü
Determinantını ararken ve basit işlemler gerçekleştirirken kullanılan en önemli matris türlerinden biridir. Üçgen tip diyagonal tipten gelir yani matris de karedir. Matrisin üçgen görünümü üst üçgen ve alt üçgen şeklinde ayrılmıştır.
Üst üçgen matriste (Şekil 1), yalnızca ana köşegenin üzerinde olan öğeler sıfıra eşit bir değer alır. Köşegenin kendisinin bileşenleri ve matrisin altındaki kısım sayısal değerler içerir.
Alt üçgen matriste (Şekil 2), aksine, matrisin alt kısmında yer alan elemanlar sıfıra eşittir.
Adım Matrisi
Görünüm, bir matrisin sırasını bulmak için ve ayrıca üzerlerindeki temel işlemler için (üçgen tipiyle birlikte) gereklidir. Adım matrisi, sıfırların karakteristik "adımlarını" içerdiği için bu şekilde adlandırılmıştır (şekilde gösterildiği gibi). Kademeli tipte, sıfırlardan oluşan bir köşegen oluşur (mutlaka ana olan değil) ve bu köşegenin altındaki tüm öğeler de sıfıra eşit değerlere sahiptir. Bir ön koşul şudur: adım matrisinde sıfır satırı varsa, bunun altındaki kalan satırlar da sayısal değerler içermez.
Böylece, onlarla çalışmak için gereken en önemli matris türlerini düşündük. Şimdi bir matrisi gerekli forma dönüştürme göreviyle ilgilenelim.
Üçgen biçime küçült
Matris üçgen forma nasıl getirilir? Çoğu zaman, atamalarda, determinantını bulmak için bir matrisi üçgen biçime dönüştürmeniz gerekir, aksi takdirde determinant olarak adlandırılır. Bu prosedürü gerçekleştirirken, matrisin ana köşegenini "korumak" son derece önemlidir, çünkü üçgen matrisin determinantı tam olarak ana köşegeninin bileşenlerinin ürünüdür. Determinantı bulmak için alternatif yöntemleri de hatırlatayım. Kare tipi determinant, özel formüller kullanılarak bulunur. Örneğin, üçgen yöntemini kullanabilirsiniz. Diğer matrisler için satır, sütun veya öğelerine göre ayrıştırma yöntemi kullanılır. Matrisin küçükler ve cebirsel tümleyenleri yöntemini de uygulayabilirsiniz.
AyrıntılarBazı görev örneklerini kullanarak bir matrisi üçgen biçime getirme sürecini analiz edelim.
Görev 1
Sunulan matrisin determinantını üçgensel forma getirme yöntemini kullanarak bulmak gerekir.
Bize verilen matris üçüncü dereceden bir kare matristir. Bu nedenle, onu üçgen bir forma dönüştürmek için birinci sütunun iki bileşenini ve ikincinin bir bileşenini geçersiz kılmamız gerekiyor.
Üçgen bir forma getirmek için, dönüşümü matrisin sol alt köşesinden - 6 sayısından başlatın. Sıfıra çevirmek için ilk satırı üçle çarpın ve son satırdan çıkarın.
Önemli! Üst satır değişmez, ancak orijinal matristekiyle aynı kalır. Orijinalin dört katı bir dize yazmanıza gerek yoktur. Ancak bileşenleri geçersiz kılınması gereken dizelerin değerleri sürekli değişiyor.
Sonra, bir sonraki değerle ilgilenelim - ilk sütunun ikinci satırının elemanı, 8 sayısı. İlk satırı dört ile çarpın ve ikinci satırdan çıkarın. Sıfır alırız.
Yalnızca son değer kalır - ikinci sütunun üçüncü satırının öğesi. Bu sayı (-1). Sıfıra çevirmek için ilk satırdan ikinciyi çıkarın.
Kontrol edelim:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Öyleyse görevin cevabı -22.
Görev 2
Matrisin determinantını üçgen şekle getirerek bulmamız gerekiyor.
Temsil edilen matriskare tipine aittir ve dördüncü dereceden bir matristir. Bu, birinci sütunun üç bileşeninin, ikinci sütunun iki bileşeninin ve üçüncü sütunun bir bileşeninin sıfırlanması gerektiği anlamına gelir.
İndirgenmesine sol alt köşede bulunan elemandan - 4 numaradan başlayalım. Bu sayıyı sıfıra çevirmemiz gerekiyor. Bunu yapmanın en kolay yolu, en üstteki satırı dörtle çarpıp dördüncü sıradan çıkarmaktır. Dönüşümün ilk aşamasının sonucunu yazalım.
Öyleyse, dördüncü satırın bileşeni sıfıra ayarlandı. Üçüncü satırın ilk elemanına, 3 numaraya geçelim. Benzer bir işlem yapıyoruz. İlk satırı üçle çarpın, üçüncü satırdan çıkarın ve sonucu yazın.
Sonra, ikinci satırda 2 sayısını görüyoruz. İşlemi tekrarlıyoruz: üst satırı iki ile çarpın ve ikinciden çıkarın.
Bu kare matrisin ilk sütununun tüm bileşenlerini, ana köşegenin dönüşüm gerektirmeyen 1 sayısı hariç tüm bileşenlerini sıfırlamayı başardık. Artık elde edilen sıfırları tutmak önemlidir, bu nedenle dönüşümleri sütunlarla değil satırlarla yapacağız. Şimdi sunulan matrisin ikinci sütununa geçelim.
Yeniden alttan başlayalım - son satırın ikinci sütununun öğesinden. Bu sayı (-7). Bununla birlikte, bu durumda, üçüncü satırın ikinci sütununun öğesi olan (-1) sayısıyla başlamak daha uygundur. Sıfıra çevirmek için ikinci satırı üçüncü satırdan çıkarın. Sonra ikinci satırı yedi ile çarparız ve dördüncüden çıkarırız. İkinci sütunun dördüncü satırında yer alan eleman yerine sıfır aldık. Şimdi üçüncüye geçelimsütun.
Bu sütunda sadece bir sayıyı sıfıra çevirmemiz gerekiyor - 4. Yapması kolay: sadece üçüncü satırı son satıra ekleyin ve ihtiyacımız olan sıfırı görün.
Tüm dönüşümlerden sonra önerilen matrisi üçgen forma getirdik. Şimdi, determinantını bulmak için sadece ana köşegenin elde edilen elemanlarını çarpmanız gerekir. Şunu elde ederiz: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Bu nedenle, çözüm 160 sayısıdır.
Yani, şimdi matrisi üçgen forma getirme sorunu sizin için zor olmayacak.
Kademeli forma indirgeme
Matrislerle ilgili basit işlemlerde, basamaklı biçim üçgen biçime göre daha az "istenilir". En yaygın olarak bir matrisin sırasını (yani sıfır olmayan satırlarının sayısını) bulmak veya doğrusal olarak bağımlı ve bağımsız satırları belirlemek için kullanılır. Bununla birlikte, kademeli matris görünümü daha çok yönlüdür, çünkü yalnızca kare tipi için değil, tüm diğerleri için uygundur.
Bir matrisi kademeli bir forma indirgemek için önce determinantını bulmanız gerekir. Bunun için yukarıdaki yöntemler uygundur. Determinantı bulmanın amacı, onun bir adım matrisine dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini bulmaktır. Determinant sıfırdan büyük veya küçükse, göreve güvenle ilerleyebilirsiniz. Sıfıra eşitse, matrisi kademeli bir forma indirgemek işe yaramaz. Bu durumda kayıtta veya matris dönüşümlerinde hata olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Bu tür yanlışlıklar yoksa görev çözülemez.
Nasıl olduğunu görelimçeşitli görev örneklerini kullanarak matrisi basamaklı bir forma getirin.
Görev 1. Verilen matris tablosunun derecesini bulun.
Önümüzde üçüncü dereceden (3x3) bir kare matris var. Rütbeyi bulmak için basamaklı bir forma indirgemek gerektiğini biliyoruz. Bu nedenle, önce matrisin determinantını bulmamız gerekir. Üçgen yöntemini kullanarak: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Sıfırdan büyüktür, bu, matrisin kademeli bir forma indirgenebileceği anlamına gelir. Dönüşümlerine başlayalım.
Üçüncü satırın sol sütunundaki elemanla başlayalım - 2 sayısı. En üst satırı ikiyle çarpın ve üçüncüden çıkarın. Bu işlem sayesinde hem ihtiyacımız olan eleman hem de üçüncü satırın ikinci sütununun elemanı olan 4 sayısı sıfıra döndü.
Ardından, ilk sütunun ikinci satırının elemanını - 3 sayısını sıfırlayın. Bunu yapmak için üst satırı üçle çarpın ve ikincisinden çıkarın.
İndirgemenin üçgen bir matrisle sonuçlandığını görüyoruz. Bizim durumumuzda, kalan bileşenler sıfıra çevrilemediği için dönüşüme devam edilemez.
Yani, bu matriste (veya sıralamasında) sayısal değerleri içeren satır sayısının 3 olduğu sonucuna varıyoruz. Görevin cevabı: 3.
Görev 2. Bu matrisin lineer bağımsız satır sayısını belirleyin.
Hiçbir dönüşümle tersine çevrilemeyecek dizeleri bulmamız gerekiyorsıfıra. Aslında, sıfır olmayan satırların sayısını veya temsil edilen matrisin sırasını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için sadeleştirelim.
Kare tipine ait olmayan bir matris görüyoruz. 3x4 boyutları vardır. Ayrıca sol alt köşedeki elemandan - (-1) sayısından da döküme başlayalım.
İlk satırı üçüncü satıra ekleyin. Ardından, 5 sayısını sıfıra çevirmek için saniyeyi ondan çıkarın.
Başka dönüşümler imkansızdır. Böylece, içindeki lineer bağımsız çizgilerin sayısının ve görevin cevabının 3. olduğu sonucuna varıyoruz.
Artık matrisi kademeli bir forma getirmek sizin için imkansız bir iş değil.
Bu görevlerin örnekleri üzerinde, bir matrisin üçgen biçime ve basamaklı biçime indirgenmesini analiz ettik. Matris tablolarının istenen değerlerini geçersiz kılmak için bazı durumlarda hayal gücünü göstermek ve sütunlarını veya satırlarını doğru bir şekilde dönüştürmek gerekir. Matematikte ve matrislerle çalışma konusunda iyi şanslar!
