Matrisler (sayısal elemanlı tablolar) çeşitli hesaplamalar için kullanılabilir. Bazıları bir sayı, bir vektör, başka bir matris, birkaç matris ile çarpmadır. Ürün bazen hatalı. Hatalı bir sonuç, hesaplama işlemlerini gerçekleştirme kurallarının cehaletinin sonucudur. Çarpma işleminin nasıl yapıldığını bulalım.
Matris ve sayı
En basit şeyle başlayalım - sayılar içeren bir tabloyu belirli bir değerle çarpmak. Örneğin, aij öğeleri (i satır numaraları ve j sütun numaralarıdır) ve e sayısı olan bir A matrisimiz var. Matrisin e sayısıyla çarpımı, aşağıdaki formülle bulunan bij öğelerine sahip B matrisi olacaktır:
bij=e × aij.
T. e. b11 öğesini elde etmek için a11 öğesini almanız ve b12 elde etmek için istediğiniz sayı ile çarpmanız gerekir. a12 öğesinin çarpımını ve e sayısını vb. bulmak gerekir.
Resimdeki 1 numaralı problemi çözelim. B matrisini elde etmek için A'daki öğeleri 3 ile çarpmanız yeterlidir:
- a11 × 3=18. Bu değeri B matrisine 1 numaralı sütun ile 1 numaralı satırın kesiştiği yere yazıyoruz.
- a21 × 3=15. B21 elementini aldık.
- a12 × 3=-6. b12 öğesini aldık. Bunu, 2. sütun ve 1. satırın kesiştiği yerde B matrisine yazıyoruz.
- a22 × 3=9. Bu sonuç b22 öğesidir.
- a13 × 3=12. Bu sayıyı matrise b13 öğesinin yerine girin.
- a23 × 3=-3. Alınan son numara b23 öğesidir.
Böylece sayısal öğeler içeren dikdörtgen bir dizi elde ettik.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektörler ve matrislerin çarpımının varlığı için koşul
Matematiksel disiplinlerde "vektör" diye bir şey vardır. Bu terim, a1 ile a arasında sıralı bir değerler kümesini ifade eder. Bunlara vektör uzayı koordinatları denir ve bir sütun olarak yazılırlar. "Transpoze vektör" terimi de vardır. Bileşenleri bir dizi olarak düzenlenmiştir.
Vektörler matris olarak adlandırılabilir:
- sütun vektörü, bir sütundan oluşturulmuş bir matristir;
- satır vektörü, yalnızca bir satır içeren bir matristir.
BittiğindeÇarpma işlemlerinin matrisleri üzerinde, bir ürünün var olması için bir koşul olduğunu hatırlamak önemlidir. A × B hesaplama eylemi, yalnızca A tablosundaki sütunların sayısı, B tablosundaki satırların sayısına eşit olduğunda gerçekleştirilebilir. Hesaplama sonucunda elde edilen matris her zaman A tablosundaki satır sayısına ve sütun sayısına sahiptir. B tablosunda.
Çarpırken, matrislerin (çarpanların) yeniden düzenlenmesi önerilmez. Çarpımları genellikle değişmeli (yer değiştirme) çarpma yasasına karşılık gelmez, yani A × B işleminin sonucu, B × A işleminin sonucuna eşit değildir. Bu özelliğe, çarpımının değişmezliği denir. matrisler. Bazı durumlarda, A × B çarpmasının sonucu B × A çarpmasının sonucuna eşittir, yani ürün değişmeli. A × B=B × A eşitliğinin geçerli olduğu matrislere permütasyon matrisleri denir. Aşağıdaki bu tür tabloların örneklerine bakın.
Bir sütun vektörüyle çarpma
Bir matrisi bir sütun vektörüyle çarparken, ürünün var olma koşulunu dikkate almalıyız. Tablodaki sütun sayısı (n), vektörü oluşturan koordinatların sayısıyla eşleşmelidir. Hesaplamanın sonucu dönüştürülmüş vektördür. Koordinat sayısı tablodaki satır sayısına (m) eşittir.
Bir A matrisi ve bir x vektörü varsa, y vektörünün koordinatları nasıl hesaplanır? Oluşturulan formüller için:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + bir 2nx ,
………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
where x1, …, x x vektörünün koordinatlarıdır, m matristeki satır sayısı ve sayıdır yeni y vektöründeki koordinatların sayısı, n matristeki sütunların sayısı ve x vektöründeki koordinatların sayısıdır, a11, a12, …, amn– A matrisinin elemanları.
Böylece, yeni vektörün i-inci bileşenini elde etmek için skaler çarpım yapılır. i. satır vektörü A matrisinden alınır ve mevcut x vektörü ile çarpılır.
2. sorunu çözelim. A'nın 3 sütunu olduğu ve x'in 3 koordinattan oluştuğu için bir matris ve bir vektörün çarpımını bulabilirsiniz. Sonuç olarak, 4 koordinatlı bir sütun vektörü almalıyız. Yukarıdaki formülleri kullanalım:
- Hesaplama y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Son değer 2.
- Hesaplama y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Hesaplarken 0.
- Hesapla y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Belirtilen faktörlerin çarpımlarının toplamı 6'dır.
- Hesapla y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinat -8.
alıyoruz
Satır vektör matrisi çarpımı
Birden çok sütunlu bir matrisi bir satır vektörü ile çarpamazsınız. Bu gibi durumlarda eserin mevcudiyet şartı sağlanmaz. Ancak bir satır vektörünün bir matris ile çarpılması mümkündür. Buvektördeki koordinat sayısı ile tablodaki satır sayısı eşleştiğinde hesaplama işlemi gerçekleştirilir. Bir vektörün ve bir matrisin ürününün sonucu yeni bir satır vektörüdür. Koordinat sayısı matristeki sütun sayısına eşit olmalıdır.
Yeni bir vektörün ilk koordinatının hesaplanması, tablodaki satır vektörü ile ilk sütun vektörünün çarpılmasını içerir. İkinci koordinat da benzer şekilde hesaplanır, ancak birinci sütun vektörü yerine ikinci sütun vektörü alınır. Koordinatları hesaplamak için genel formül:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, burada yk y vektöründen bir koordinattır, (k 1 ile n arasındadır), m matristeki satır sayısı ve koordinat sayısıdır x-vektöründe, n, matristeki sütunların sayısı ve y-vektöründeki koordinatların sayısıdır, alfasayısal indeksli a, A matrisinin öğeleridir.
Dikdörtgen matrislerin çarpımı
Bu hesaplama karmaşık görünebilir. Ancak çarpma işlemi kolaylıkla yapılır. Bir tanımla başlayalım. m satır ve n sütunlu bir A matrisi ile n satır ve p sütunlu bir B matrisinin çarpımı, m satır ve p sütunlu bir C matrisidir ve burada cij öğesi Tablo A'daki i-inci satır ve tablo B'deki j-inci sütundaki elemanların çarpımlarının toplamı. Daha basit bir ifadeyle, cij elemanı i-inci satırın skaler çarpımıdır A tablosundan vektör ve B tablosundan j. sütun vektörü.
Şimdi pratikte dikdörtgen matrislerin çarpımını nasıl bulacağımızı bulalım. Bunun için 3 numaralı problemi çözelim. Bir ürünün var olma koşulu sağlandı. cij:
öğelerini hesaplamaya başlayalım
- Matrix C'nin 2 satırı ve 3 sütunu olacaktır.
- C11 öğesini hesaplayın. Bunu yapmak için, A matrisinden 1 numaralı satırın ve B matrisinden 1 numaralı sütunun skaler çarpımını gerçekleştiriyoruz. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Daha sonra benzer şekilde ilerliyoruz, sadece satırları, sütunları değiştiriyoruz (eleman indeksine bağlı olarak).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementler hesaplanır. Şimdi sadece alınan numaraların dikdörtgen bir bloğunu yapmak kalıyor.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Üç matrisin çarpımı: teorik kısım
Üç matrisin çarpımını bulabilir misin? Bu hesaplama işlemi uygulanabilir. Sonuç birkaç yolla elde edilebilir. Örneğin, 3 kare tablo vardır (aynı sırada) - A, B ve C. Çarpımı hesaplamak için şunları yapabilirsiniz:
- Önce A ve B'yi çarpın. Ardından sonucu C ile çarpın.
- Önce B ve C'nin çarpımını bulun. Ardından A matrisini sonuçla çarpın.
Dikdörtgen matrisleri çarpmanız gerekiyorsa, önce bu hesaplama işleminin mümkün olduğundan emin olmanız gerekir. MeliA × B ve B × C ürünleri var.
Artımlı çarpma bir hata değildir. "Matris çarpımının ilişkilendirilebilirliği" diye bir şey var. Bu terim (A × B) × C=A × (B × C) eşitliğine atıfta bulunur.
Üç Matris Çarpma Uygulaması
Kare matrisler
Küçük kare matrisleri çarparak başlayın. Aşağıdaki şekil çözmemiz gereken 4 numaralı problemi göstermektedir.
associativity özelliğini kullanacağız. Önce A ve B'yi veya B ve C'yi çarpıyoruz. Sadece bir şeyi hatırlıyoruz: çarpanları değiştiremezsiniz, yani B × A veya C × B'yi çarpamazsınız. Bu çarpma ile, hatalı sonuç.
Karar ilerlemesi.
Birinci adım. Ortak ürünü bulmak için önce A ile B'yi çarparız. İki matrisi çarparken, yukarıda özetlenen kurallar bize rehberlik eder. Dolayısıyla, A ve B'yi çarpmanın sonucu 2 satır ve 2 sütunlu bir D matrisi olacaktır, yani dikdörtgen bir dizi 4 eleman içerecektir. Hesap yaparak bulalım:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Ara sonuç hazır.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
İkinci adım. Şimdi D matrisini C matrisi ile çarpalım. Sonuç, 2 satır ve 2 sütunlu kare bir G matrisi olmalıdır. Öğeleri hesapla:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Böylece, kare matrislerin çarpımının sonucu, hesaplanmış elemanları olan bir G tablosudur.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Dikdörtgen matrisler
Aşağıdaki şekil 5 numaralı problemi göstermektedir. Dikdörtgen matrisleri çarpmak ve bir çözüm bulmak gerekir.
A × B ve B × C ürünlerinin var olma koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim. Belirtilen matrislerin sıraları çarpma işlemi yapmamızı sağlar. Hadi problemi çözmeye başlayalım.
Karar ilerlemesi.
Birinci adım. D'yi elde etmek için B ile C'yi çarpın. B matrisinin 3 satırı ve 4 sütunu ve C matrisinin 4 satırı ve 2 sütunu vardır. Bu, 3 satır ve 2 sütunlu bir D matrisi elde edeceğimiz anlamına gelir. Elemanları hesaplayalım. İşte 2 hesaplama örneği:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Sorunu çözmeye devam ediyoruz. Daha sonraki hesaplamalar sonucunda d21, d2 değerlerini buluyoruz. 2, d31 ve d32. Bu elemanlar sırasıyla 0, 19, 1 ve 11'dir. Bulunan değerleri dikdörtgen bir diziye yazalım.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
İkinci adım. Son matris F'yi elde etmek için A ile D'yi çarpın. 2 satır ve 2 sütuna sahip olacaktır. Öğeleri hesapla:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Üç matrisi çarpmanın sonucu olan bir dikdörtgen dizi oluşturun.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Yönlendirme çalışmasına giriş
Anlaması oldukça zor olan malzeme, matrislerin Kronecker çarpımıdır. Ayrıca ek bir adı var - doğrudan bir çalışma. Bu terimle ne kastedilmektedir? Diyelim ki m × n düzeyinde A tablomuz ve p × q düzeyinde B tablomuz var. A matrisi ve B matrisinin doğrudan çarpımı, mp × nq.
mertebesinde bir matristir.
Resimde gösterilen 2 kare A, B matrisimiz var. İlki 2 sütun ve 2 satırdan, ikincisi ise 3 sütun ve 3 satırdan oluşmaktadır. Doğrudan çarpımdan elde edilen matrisin 6 satırdan ve tam olarak aynı sayıda sütundan oluştuğunu görüyoruz.
Yeni bir matrisin öğeleri doğrudan bir çarpımda nasıl hesaplanır? Resmi incelerseniz bu sorunun cevabını bulmak çok kolay. İlk önce ilk satırı doldurun. A tablosunun en üst satırından ilk elemanı alın ve ilk satırın elemanları ile sırayla çarpınArdından, A tablosunun ilk satırının ikinci öğesini alın ve sırayla B tablosunun ilk satırının öğeleriyle çarpın. İkinci satırı doldurmak için, A tablosunun ilk satırından ilk öğeyi tekrar alın ve B tablosunun ikinci satırının öğeleriyle çarpın.
Doğrudan çarpımla elde edilen son matrise blok matris denir. Rakamı tekrar incelersek sonucumuzun 4 bloktan oluştuğunu görebiliriz. Bunların tümü B matrisinin öğelerini içerir. Ek olarak, her bloğun bir öğesi, A matrisinin belirli bir öğesiyle çarpılır. İlk blokta, tüm öğeler a11 ile çarpılır. ikinci - a12, üçüncü - a21, dördüncü - a22.
Ürün belirleyici
Matris çarpımı konusunu ele alırken, “matrislerin çarpımının determinantı” gibi bir terimi dikkate almaya değer. determinant nedir? Bu, kare matrisin önemli bir özelliğidir, bu matrise atanan belirli bir değerdir. Determinantın gerçek tanımı det'tir.
İki sütun ve iki satırdan oluşan bir A matrisi için determinantı bulmak kolaydır. Belirli elementlerin ürünleri arasındaki farkı gösteren küçük bir formül vardır:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
İkinci dereceden bir tablo için determinantı hesaplamanın bir örneğini ele alalım. İçinde a11=2, a12=3, a21=5 ve a olan bir A matrisi vardır.22=1. Determinantı hesaplamak için şu formülü kullanın:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
3 × 3 matris için, determinant daha karmaşık bir formül kullanılarak hesaplanır. A matrisi için aşağıda sunulmuştur:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – bir11 a23a32 – a12a21 a33.
Formülü hatırlamak için resimde gösterilen üçgen kuralını oluşturduk. İlk olarak, ana köşegenin elemanları çarpılır. Elde edilen değere kenarları kırmızı olan üçgenlerin açılarıyla gösterilen bu elemanların ürünleri eklenir. Daha sonra, ikincil köşegenin elemanlarının çarpımı çıkarılır ve bu elemanların çarpımı mavi kenarlı üçgenlerin köşeleri ile gösterilenlerden çıkarılır.
Şimdi matrislerin çarpımının determinantından bahsedelim. Bu göstergenin çarpan tablolarının belirleyicilerinin çarpımına eşit olduğunu söyleyen bir teorem var. Bunu bir örnekle doğrulayalım. a11=2, a12=3, a21=1 ve agirişli A matrisimiz var 22=1 ve B matrisi ile b11=4, b12=5, b 21 =1 ve b22=2. A ve B matrislerinin, A × B çarpımının ve bu çarpımın determinantının determinantını bulun.
Karar ilerlemesi.
Birinci adım. A için determinantı hesaplayın: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Ardından, B için determinantı hesaplayın: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
İkinci adım. Bulalımçarpım A × B. Yeni matrisi C harfiyle belirtin. Öğelerini hesaplayın:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Üçüncü adım. C için determinantı hesaplayın: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Orijinal matrislerin determinantlarının çarpılmasıyla elde edilebilecek değerle karşılaştırın. Rakamlar aynı. Yukarıdaki teorem doğrudur.
Ürün sıralaması
Bir matrisin rankı, maksimum lineer bağımsız satır veya sütun sayısını yansıtan bir özelliktir. Dereceyi hesaplamak için matrisin temel dönüşümleri gerçekleştirilir:
- iki paralel satırın yeniden düzenlenmesi;
- tablodan belirli bir satırın tüm öğelerini sıfır olmayan bir sayı ile çarpma;
- belirli bir sayı ile çarpılarak, bir satırdaki diğer satırdaki elemanlara ekleme.
Temel dönüşümlerden sonra, sıfır olmayan dizelerin sayısına bakın. Sayıları matrisin sıralamasıdır. Önceki örneği düşünün. 2 matris sundu: A öğelerine sahip a11=2, a12=3, a21=1 ve a22 =1 ve B öğeleriyle b11=4, b12=5, b21=1 ve b22=2. Çarpma sonucunda elde edilen C matrisini de kullanacağız. Elementer dönüşümler yaparsak, basitleştirilmiş matrislerde sıfır satır olmayacaktır. Bu, hem A tablosunun sıralamasının hem de B tablosunun sıralamasının ve sıralamanınC tablosu 2.
Şimdi matrislerin çarpımının rankına özellikle dikkat edelim. Sayısal öğeler içeren tabloların bir ürününün sırasının, faktörlerin hiçbirinin sırasını geçmediğini söyleyen bir teorem vardır. Bu kanıtlanabilir. A bir k × s matrisi ve B bir s × m matrisi olsun. A ve B'nin çarpımı C'ye eşittir.
Yukarıdaki resmi inceleyelim. C matrisinin ilk sütununu ve basitleştirilmiş gösterimini gösterir. Bu sütun, A matrisine dahil edilen sütunların doğrusal bir birleşimidir. Benzer şekilde, C dikdörtgen dizisinden herhangi bir başka sütun hakkında söylenebilir. Böylece, C tablosunun sütun vektörleri tarafından oluşturulan alt uzay, aşağıdakiler tarafından oluşturulan alt uzaydadır. Bu nedenle, 1 numaralı alt uzayın boyutu, 2 numaralı alt uzayın boyutunu aşmaz. Bu, C tablosunun sütunlarındaki sıralamanın, A tablosunun sütunlarındaki sıralamayı aşmadığı anlamına gelir, yani, r(C) ≦ r(A). Benzer şekilde tartışırsak, o zaman C matrisinin satırlarının, B matrisinin satırlarının doğrusal kombinasyonları olduğundan emin olabiliriz. Bu, r(C) ≦ r(B) eşitsizliği anlamına gelir.
Matrislerin çarpımı nasıl bulunur, oldukça karmaşık bir konudur. Kolayca ustalaşılabilir, ancak böyle bir sonuca ulaşmak için mevcut tüm kuralları ve teoremleri ezberlemek için çok zaman harcamanız gerekecek.
