Üçgen piramit ve alanını belirlemek için formüller

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Piramit, özellikleri lisede katı geometri dersinde çalışılan geometrik bir mekansal figürdür. Bu yazıda üçgen piramidi, çeşitlerini ve yüzey alanını hesaplama formüllerini ele alacağız.

Hangi piramitten bahsediyoruz?

Üçgen piramit, rastgele bir üçgenin tüm köşelerini bu üçgenin düzleminde yer almayan tek bir nokta ile birleştirerek elde edilebilen bir şekildir. Bu tanıma göre, söz konusu piramit, şeklin tabanı olarak adlandırılan bir başlangıç üçgeni ile tabanla bir ortak kenarı olan ve bir noktada birbirine bağlanan üç kenar üçgenden oluşmalıdır. İkincisine piramidin tepesi denir.

Yukarıdaki resim rastgele bir üçgen piramidi gösteriyor.

İncelenen şekil eğik veya düz olabilir. İkinci durumda, piramidin tepesinden tabanına düşen dik, onu geometrik merkezde kesmelidir. herhangi birinin geometrik merkeziüçgen, medyanlarının kesişme noktasıdır. Geometrik merkez, fizikte şeklin kütle merkezi ile örtüşür.

Düz bir piramidin tabanında düzenli (eşkenar) bir üçgen bulunuyorsa, buna düzgün üçgen denir. Düzenli bir piramitte tüm kenarlar birbirine eşittir ve eşkenar üçgenlerdir.

Düzenli bir piramidin yüksekliği, yan üçgenleri eşkenar olacak şekilde ise, buna tetrahedron denir. Bir tetrahedronda, dört yüzün tümü birbirine eşittir, bu nedenle her biri bir taban olarak kabul edilebilir.

Piramit öğeleri

Bu öğeler, bir şeklin yüzlerini veya kenarlarını, kenarlarını, köşelerini, yüksekliğini ve özdeyişlerini içerir.

Gösterildiği gibi, üçgen piramidin tüm kenarları üçgendir. Sayıları 4'tür (3 kenar ve tabanda bir).

Köşeler, üç üçgen kenarın kesişme noktalarıdır. Söz konusu piramit için 4 tanesinin (3 tabana ve 1 piramidin tepesine ait) olduğunu tahmin etmek zor değil.

Kenarlar, iki üçgen kenarı kesen çizgiler veya her iki köşeyi birleştiren çizgiler olarak tanımlanabilir. Kenar sayısı taban köşelerinin sayısının iki katına karşılık gelir, yani üçgen piramit için 6'dır (3 kenar tabana aittir ve 3 kenar yan yüzlerden oluşur).

Yükseklik, yukarıda belirtildiği gibi, piramidin tepesinden tabanına çizilen dikmenin uzunluğudur. Bu tepe noktasından üçgen tabanın her iki yanına yükseklikler çizersek,o zaman bunlara apotem (ya da özdeyişler) adı verilir. Böylece üçgen piramidin bir yüksekliği ve üç özdeyişi vardır. İkincisi düzgün bir piramit için birbirine eşittir.

Pamidin tabanı ve alanı

İncelenen şeklin tabanı genellikle bir üçgen olduğundan, alanını hesaplamak için yüksekliği h_o ve tabanın kenar uzunluğunu bulmak yeterlidir. a, üzerine indirildiği. Tabanın S_o alanının formülü:

S_o=1/2h_oa

Tabanın üçgeni eşkenar ise, üçgen piramidin taban alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

S_o=√3/4a²

Yani, S_o alanı benzersiz bir şekilde üçgen tabanın a kenarının uzunluğu tarafından belirlenir.

Şeklin yan ve toplam alanı

Üçgen piramidin alanını düşünmeden önce gelişimini göstermekte fayda var. Aşağıda resmedilmiştir.

Dört üçgenin oluşturduğu bu süpürmenin alanı piramidin toplam alanıdır. Üçgenlerden biri, dikkate alınan değerin formülü yukarıda yazılan tabana karşılık gelir. Üç yan üçgen yüz birlikte şeklin yan alanını oluşturur. Bu nedenle, bu değeri belirlemek için, her birine rastgele bir üçgen için yukarıdaki formülü uygulamak ve ardından üç sonucu eklemek yeterlidir.

Piramit doğruysa, hesaplamaTüm yan yüzler aynı eşkenar üçgenler olduğundan yan yüzey alanı kolaylaştırılmıştır. H_bÖzetin uzunluğunu belirtin, daha sonra S_b yan yüzeyinin alanı aşağıdaki gibi belirlenebilir:

S_b=3/2ah_b

Bu formül, bir üçgenin alanı için genel ifadeden gelir. Piramidin üç yan yüzü olduğu için paylarda 3 sayısı göründü.

Apotema h_b düzgün bir piramitteki h şeklinin yüksekliği biliniyorsa hesaplanabilir. Pisagor teoremini uygulayarak şunu elde ederiz:

h_b=√(h²+ a²/12)

Açıkçası, şeklin yüzeyinin toplam alanı S, kenar ve taban alanlarının toplamına eşittir:

S=S_o+ S_b

Düzenli bir piramit için, bilinen tüm değerleri değiştirerek şu formülü elde ederiz:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Üçgen piramidin alanı yalnızca tabanının kenarının uzunluğuna ve yüksekliğine bağlıdır.

Örnek problem

Üçgen piramidin yan kenarının 7 cm, tabanının kenarının ise 5 cm olduğu bilinmektedir. Eğer piramidi biliyorsanız şeklin yüzey alanını bulmanız gerekir. normaldir.

Genel bir eşitlik kullanın:

S=S_o+ S_b

Alan S_o şuna eşittir:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Yan yüzey alanını belirlemek için apotemayı bulmanız gerekir. Yan kenarın uzunluğu boyunca a_b formülüyle belirlendiğini göstermek zor değil:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6.538 cm.}

Öyleyse S_b alanı:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49.035 cm2.

Piramidin toplam alanı:

S=S_o+ S_b=10.825 + 49.035=59.86cm².

Problemi çözerken, hesaplamalarda piramit yüksekliğinin değerini kullanmadığımızı unutmayın.