Olasılık teorisini çalışmak, olasılıkların toplama ve çarpma problemlerini çözmekle başlar. Bu bilgi alanında uzmanlaşırken, bir öğrencinin bir sorunla karşılaşabileceğini hemen belirtmekte fayda var: fiziksel veya kimyasal süreçler görsel olarak temsil edilebiliyor ve ampirik olarak anlaşılabiliyorsa, o zaman matematiksel soyutlama seviyesi çok yüksektir ve burada anlama ancak bununla gelir. deneyim.
Ancak, oyun muma değer, çünkü hem bu makalede ele alınan hem de daha karmaşık formüller bugün her yerde kullanılıyor ve işte faydalı olabilir.
Köken
Tuhaf bir şekilde, matematiğin bu bölümünün gelişmesinin itici gücü … kumardı. Gerçekten de, zar, yazı tura, poker, rulet, olasılıkların toplanması ve çarpılmasının kullanıldığı tipik örneklerdir. Herhangi bir ders kitabındaki görevler örneğinde bu açıkça görülebilir. İnsanlar kazanma şanslarını nasıl artıracaklarını öğrenmekle ilgilendiler ve bazılarının bunu başardığını söylemeliyim.
Örneğin, 21. yüzyılda adını açıklamayacağımız bir kişi,yüzyıllar boyunca biriken bu bilgiyi kumarhaneyi kelimenin tam anlamıyla "temizlemek" için kullandı ve rulette on milyonlarca dolar kazandı.
Ancak, konuya artan ilgiye rağmen, 20. yüzyıla kadar “teorver”i matematiğin tam teşekküllü bir bileşeni yapan teorik bir çerçeve geliştirilemedi. Bugün, hemen hemen her bilimde, olasılık yöntemlerini kullanarak hesaplamalar bulabilirsiniz.
Uygulanabilirlik
Olasılıkların toplama ve çarpma formüllerini kullanırken önemli bir nokta, koşullu olasılık, merkezi limit teoreminin karşılanabilirliğidir. Aksi takdirde, öğrenci tarafından fark edilmese de tüm hesaplamalar ne kadar mantıklı görünürse görünsün yanlış olacaktır.
Evet, motivasyonu yüksek öğrenci, her fırsatta yeni bilgileri kullanmaya meyillidir. Ancak bu durumda, biraz yavaşlamalı ve uygulanabilirlik kapsamını kesin olarak belirlemelisiniz.
Olasılık teorisi, deneysel terimlerle deneylerin sonuçları olan rastgele olaylarla ilgilenir: altı yüzlü bir kalıbı yuvarlayabilir, desteden bir kart çekebilir, bir partideki kusurlu parça sayısını tahmin edebiliriz. Ancak, bazı sorularda matematiğin bu bölümündeki formülleri kullanmak kategorik olarak imkansızdır. Bir olayın olasılıklarını dikkate almanın özelliklerine, olayların toplama ve çarpma teoremlerine yazının sonunda değineceğiz ama şimdilik örneklere geçelim.
Temel kavramlar
Rastgele bir olay, görünebilecek veya görünmeyebilecek bir süreç veya sonuç anlamına gelirdeneyin sonucunda. Örneğin, bir sandviçi fırlatırız - tereyağı yukarı veya aşağı düşebilir. İki sonuçtan herhangi biri rastgele olacak ve hangisinin gerçekleşeceğini önceden bilemeyiz.
Olasılıkların toplamasını ve çarpmasını çalışırken, iki kavrama daha ihtiyacımız var.
Ortak olaylar, birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini engellemeyen olaylardır. Diyelim ki iki kişi aynı anda bir hedefe ateş ediyor. Biri başarılı bir atış yaparsa, diğerinin vurma veya ıskalama yeteneğini etkilemez.
Tutarsız olacak, aynı anda gerçekleşmesi imkansız olan bu tür olaylar. Örneğin kutudan sadece bir top çekerek hem maviyi hem de kırmızıyı aynı anda alamazsınız.
Tanım
Olasılık kavramı Latince büyük harf P ile gösterilir. Parantez içinde sonrakiler bazı olayları ifade eden argümanlardır.
Toplama teoremi, koşullu olasılık, çarpma teoremi formüllerinde parantez içinde ifadeler göreceksiniz, örneğin: A+B, AB veya A|B. Çeşitli şekillerde hesaplanacaklar, şimdi onlara döneceğiz.
İlave
Toplama ve çarpma formüllerinin kullanıldığı durumları ele alalım.
Uyumsuz olaylar için, en basit toplama formülü uygundur: rastgele sonuçların herhangi birinin olasılığı, bu sonuçların her birinin olasılıklarının toplamına eşit olacaktır.
Diyelim ki 2 mavi, 3 kırmızı ve 5 sarı balonlu bir kutu var. Kutu içerisinde toplam 10 adet bulunmaktadır. Mavi veya kırmızı bir top çekeceğiz ifadesinin doğruluk yüzdesi nedir? 2/10 + 3/10, yani yüzde elli olacak.
Uyumsuz olaylar durumunda, ek bir terim eklendiğinden formül daha karmaşık hale gelir. Bir formül daha düşündükten sonra ona bir paragrafta döneceğiz.
Çarpma
Bağımsız olayların olasılıklarının toplanması ve çarpımı farklı durumlarda kullanılır. Deneyin koşuluna göre, olası iki sonuçtan herhangi biri bizi tatmin ederse, toplamı hesaplayacağız; art arda iki kesin sonuç almak istiyorsak farklı bir formüle başvuracağız.
Önceki bölümden örneğe dönersek, önce mavi topu sonra kırmızı topu çizmek istiyoruz. Bildiğimiz ilk sayı 2/10'dur. Sonra ne olur? 9 top kaldı, hala aynı sayıda kırmızı top var - üç parça. Hesaplamalara göre 3/9 veya 1/3 elde edersiniz. Ama şimdi iki sayı ile ne yapmalı? Doğru cevap 2/30 elde etmek için çarpmaktır.
Ortak Etkinlikler
Artık ortak etkinlikler için toplam formülünü tekrar gözden geçirebiliriz. Konudan neden uzaklaşıyoruz? Olasılıkların nasıl çarpıldığını öğrenmek. Şimdi bu bilgi işe yarayacak.
İlk iki terimin ne olacağını zaten biliyoruz (daha önce ele alınan toplama formülüyle aynı), şimdi çıkarmamız gerekiyorhesaplamayı yeni öğrendiğimiz olasılıkların ürünü. Netlik için, formülü yazıyoruz: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Olasılıkların hem toplanmasının hem de çarpımının tek bir ifadede kullanıldığı ortaya çıktı.
Diyelim ki kredi almak için iki problemden birini çözmemiz gerekiyor. İlkini 0,3, ikincisini - 0,6 olasılıkla çözebiliriz. Çözüm: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Buradaki sayıları toplamanın yeterli olmayacağını unutmayın.
Koşullu Olasılık
Son olarak, argümanları parantez içinde gösterilen ve dikey bir çubukla ayrılan koşullu olasılık kavramı vardır. P(A|B) girdisi şu şekildedir: “B olayı verilen A olayının olasılığı”.
Bir örneğe bakalım: Bir arkadaşınız size bir cihaz verir, bırakın telefon olsun. Kırılabilir (%20) veya iyi olabilir (%80). Elinize düşen herhangi bir cihazı 0,4 olasılıkla onarabilirsiniz veya yapamazsınız (0,6). Son olarak cihaz çalışır durumda ise 0,7 ihtimal ile doğru kişiye ulaşabilirsiniz.
Bu durumda koşullu olasılığın nasıl çalıştığını görmek kolaydır: Telefon bozuksa bir kişiye ulaşamazsınız ve iyiyse düzeltmenize gerek yoktur. Bu nedenle, "ikinci düzeyde" herhangi bir sonuç alabilmek için, ilkinde hangi olayın yürütüldüğünü bilmeniz gerekir.
Hesaplamalar
Bir önceki paragraftaki verileri kullanarak olasılıkların toplanması ve çarpılması ile ilgili problem çözme örneklerine bakalım.
Önce,size verilen cihazı onarın. Bunu yapmak için öncelikle arızalı olmalı ve ikincisi onarımla başa çıkmalısınız. Bu tipik bir çarpma problemidir: 0,20,4=0,08 elde ederiz.
Hemen doğru kişiye ulaşma olasılığınız nedir? Basitten daha kolay: 0.80.7=0.56. Bu durumda, telefonun çalıştığını gördünüz ve başarılı bir arama yaptınız.
Son olarak, şu senaryoyu düşünün: bozuk bir telefon aldınız, tamir ettiniz, ardından numarayı çevirdiniz ve karşı taraftaki kişi telefona cevap verdi. Burada, üç bileşenin çarpımı zaten gereklidir: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Peki ya aynı anda çalışmayan iki telefonunuz varsa? Bunlardan en az birini düzeltme olasılığınız nedir? Bu, ortak olaylar kullanıldığından, olasılıkların toplanması ve çarpılması sorunudur. Çözüm: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Dikkatli kullanım
Yazının başında da belirtildiği gibi, olasılık teorisinin kullanımı kasıtlı ve bilinçli olmalıdır.
Deney dizisi ne kadar büyük olursa, teorik olarak tahmin edilen değer pratik olana o kadar yakın olur. Örneğin bozuk para atıyoruz. Teorik olarak, olasılıkların toplanması ve çarpılması için formüllerin varlığını bilerek, deneyi 10 kez yaparsak kaç kez tura ve tura düşeceğini tahmin edebiliriz. bir deney yaptık veTesadüfen, bırakılan tarafların oranı 3'e 7'ydi. Ancak 100, 1000 veya daha fazla denemeden oluşan bir dizi yaparsanız, dağılım grafiğinin teorik olana giderek daha yakın olduğu ortaya çıkıyor: 44'e 56, 482'ye. 518 ve benzeri.
Şimdi bu deneyin bir madeni para ile değil, olasılığını bilmediğimiz yeni bir kimyasal maddenin üretimi ile yapıldığını hayal edin. 10 deney yapardık ve eğer başarılı bir sonuç alamazsak, "madde elde edilemez" diye genelleyebilirdik. Ama kim bilir, on birinci denemeyi yapsaydık hedefe ulaşır mıydık, ulaşamaz mıydık?
Yani eğer bilinmeyene, keşfedilmemiş diyara gidiyorsanız, olasılık teorisi geçerli olmayabilir. Bu durumda sonraki her girişim başarılı olabilir ve "X yoktur" veya "X imkansızdır" gibi genellemeler erken olacaktır.
Kapanış sözü
Yani iki tür toplama, çarpma ve koşullu olasılıklara baktık. Bu alanın daha fazla incelenmesiyle, her bir özel formülün kullanıldığı durumları ayırt etmeyi öğrenmek gerekir. Ek olarak, probleminizi çözmek için olasılıksal yöntemlerin genel olarak uygulanabilir olup olmadığını anlamanız gerekir.
Pratik yaparsanız bir süre sonra gerekli tüm işlemleri sadece zihninizde gerçekleştirmeye başlayacaksınız. Kart oyunlarına düşkün olanlar için bu yetenek düşünülebilir.son derece değerli - sadece belirli bir kartın veya takımın düşme olasılığını hesaplayarak kazanma şansınızı önemli ölçüde artıracaksınız. Ancak edinilen bilgiler diğer faaliyet alanlarında da kolaylıkla uygulanabilir.
