İnsanlığın ilerlemesi büyük ölçüde dahiler tarafından yapılan keşiflerden kaynaklanmaktadır. Bunlardan biri Blaise Pascal'dır. Yaratıcı biyografisi, Lion Feuchtwanger'in "Yetenekli bir insan, her şeyde yetenekli" ifadesinin doğruluğunu bir kez daha teyit ediyor. Bu büyük bilim insanının tüm bilimsel başarılarını saymak zor. Bunların arasında matematik dünyasının en zarif icatlarından biri - Pascal üçgeni.
Deha hakkında birkaç söz
Blaise Pascal, modern standartlara göre 39 yaşında erken öldü. Bununla birlikte, kısa yaşamında seçkin bir fizikçi, matematikçi, filozof ve yazar olarak öne çıktı. Minnettar torunları, onuruna baskı birimi ve popüler programlama dili Pascal adını verdi. Çeşitli kodların nasıl yazılacağını öğretmek için yaklaşık 60 yıldır kullanılmaktadır. Örneğin, onun yardımıyla, her öğrenci Pascal'da bir üçgenin alanını hesaplamak için bir program yazabilir ve devrenin özelliklerini keşfedebilir.hangisi aşağıda tartışılacaktır.
Olağanüstü düşünceye sahip bu bilim insanının faaliyetleri, çok çeşitli bilim alanlarını kapsar. Özellikle Blaise Pascal, hidrostatik, matematiksel analiz, bazı geometri alanları ve olasılık teorisinin kurucularından biridir. Ayrıca, o:
- Pascal çarkı olarak bilinen mekanik bir hesap makinesi oluşturdu;
- havanın elastikiyeti ve ağırlığı olduğuna dair deneysel kanıt sağladı;
- hava durumunu tahmin etmek için bir barometrenin kullanılabileceğini belirledi;
- el arabasını icat etti;
- omnibüs icat etti - daha sonra ilk düzenli toplu taşıma türü haline gelen sabit rotaları olan at arabaları vb.
Pascal Aritmetik Üçgeni
Daha önce de belirtildiği gibi, bu büyük Fransız bilim adamı matematik bilimine büyük katkı yaptı. Mutlak bilimsel şaheserlerinden biri, belirli bir düzende düzenlenmiş iki terimli katsayılardan oluşan "Aritmetik Üçgen Üzerine İnceleme" dir. Bu şemanın özellikleri çeşitliliklerinde dikkat çekicidir ve kendisi de "Dahice olan her şey basittir!" atasözünü doğrular.
Biraz tarih
Adil olmak gerekirse, Pascal üçgeninin Avrupa'da 16. yüzyılın başlarında bilindiğini söylemek gerekir. Özellikle, Ingolstadt Üniversitesi'nden ünlü astronom Peter Apian'ın bir aritmetik ders kitabının kapağında onun görüntüsü görülebilir. Benzer bir üçgen de örnek olarak gösterilmiştir. Çinli matematikçi Yang Hui'nin 1303'te yayınlanan bir kitabında. Dikkat çekici İranlı şair ve filozof Omar Khayyam da 12. yüzyılın başlarında özelliklerinin farkındaydı. Üstelik onunla Arap ve Hintli bilim adamlarının daha önce yazılmış risalelerinden tanıştığına inanılıyor.
Açıklama
Mükemmelliği ve sadeliği ile güzel olan Pascal üçgeninin en ilginç özelliklerini keşfetmeden önce, ne olduğunu bilmekte fayda var.
Bilimsel olarak konuşursak, bu sayısal şema, belirli bir düzende düzenlenmiş binom katsayılarından oluşan sonsuz üçgen bir tablodur. Üstte ve yanlarında 1 sayıları vardır. Kalan konumlar, yanlarında bulunan iki sayının toplamına eşit sayılarla işgal edilir. Ayrıca, Pascal üçgeninin tüm çizgileri dikey eksenine göre simetriktir.
Temel Özellikler
Pascal üçgeni mükemmelliği ile dikkat çekiyor. n (n=0, 1, 2…) numaralı herhangi bir satır için true:
- ilk ve son sayılar 1'dir;
- saniye ve sondan bir önceki - n;
- üçüncü sayı üçgen sayıya eşittir (eşkenar üçgende düzenlenebilen daire sayısı, yani 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Dördüncü sayı dört yüzlüdür, yani tabanında üçgen olan bir piramittir.
Ayrıca, nispeten yakın bir zamanda, 1972'de Pascal üçgeninin başka bir özelliği belirlendi. onun için sıraylabulmak için, bu şemanın öğelerini 2 konumlu satır kaydırmalı bir tablo şeklinde yazmanız gerekir. Ardından satır numarasına bölünebilen sayıları not edin. Tüm sayıların vurgulandığı sütunun numarasının bir asal sayı olduğu ortaya çıktı.
Aynı numara başka bir şekilde de yapılabilir. Bunu yapmak için, Pascal üçgeninde sayılar tablodaki satır numarasına göre bölmelerinin kalanları ile değiştirilir. Ardından çizgiler, elde edilen üçgende düzenlenir, böylece bir sonraki, bir öncekinin ilk öğesinden 2 sütun sağdan başlar. O zaman asal sayı olan sayıların bulunduğu sütunlar yalnızca sıfırlardan oluşacak ve bileşik sayıların bulunduğu sütunlar en az bir sıfır içerecektir.
Newton'un iki terimlisiyle bağlantı
Bildiğiniz gibi, bu, iki değişkenin toplamının negatif olmayan bir tamsayı kuvveti terimlerine açılımı için formülün adıdır ve şuna benzer:
İçlerinde bulunan katsayılar C m =n'ye eşittir! / (m! (n - m)!), burada m, Pascal üçgeninin n satırındaki sıra sayısıdır. Başka bir deyişle, bu tabloyu elinizin altında bulundurarak, herhangi bir sayıyı daha önce iki terime ayırarak kolayca bir kuvvete yükseltebilirsiniz.
Böylece, Pascal üçgeni ve Newton'un iki terimi yakından ilişkilidir.
Matematik Harikaları
Pascal üçgeninin yakından incelenmesi şunu ortaya çıkarır:
- ile satırdaki tüm sayıların toplamıseri numarası n (0'dan başlayarak) 2;
- Doğrular sola hizalıysa, Pascal üçgeninin köşegenleri boyunca yer alan, aşağıdan yukarıya ve soldan sağa giden sayıların toplamı Fibonacci sayılarına eşittir;
- ilk "köşegen" sırayla doğal sayılardan oluşur;
- Pascal üçgeninin bir az altılmış herhangi bir elemanı, bu sayı üzerinde kesişen sol ve sağ köşegenlerle sınırlanan paralelkenarın içinde yer alan tüm sayıların toplamına eşittir;
- Diyagramın her satırında, çift yerlerdeki sayıların toplamı tek yerlerdeki elemanların toplamına eşittir.
Sierpinski Üçgeni
Karmaşık problemlerin çözümü açısından oldukça umut verici olan böylesine ilginç bir matematiksel şema, Pascal görüntüsünün çift sayılarını bir renge, tek sayıları bir başka renge boyayarak elde edilir.
Sierpinski üçgeni başka bir şekilde oluşturulabilir:
- gölgeli Pascal şemasında, orijinal üçgenin kenarlarının orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşturulan orta üçgen farklı bir renkle yeniden boyanır;
- Köşelerde bulunan üç boyasız ile aynısını yapın;
- İşlem süresiz olarak devam ettirilirse sonuç iki renkli bir şekil olmalıdır.
Sierpinski üçgeninin en ilginç özelliği, 2 kat küçültülmüş 3 kopyasından oluştuğu için kendine benzerliğidir. Bu şemayı fraktal eğrilere bağlamamıza izin verir ve en son tarafından gösterildiği gibi onlararaştırma en çok bulutların, bitkilerin, nehir deltalarının ve evrenin kendisinin matematiksel modellemesi için uygundur.
Birkaç ilginç görev
Pascal üçgeni nerede kullanılır? Yardımıyla çözülebilecek görev örnekleri oldukça çeşitlidir ve çeşitli bilim alanlarına aittir. Daha ilginç olanlardan bazılarına bir göz atalım.
Sorun 1. Bir kale duvarı ile çevrili büyük bir şehrin sadece bir giriş kapısı var. İlk kavşakta ana yol ikiye ayrılıyor. Aynısı diğerinde de oluyor. 210 kişi şehre giriyor. Buluştukları kavşakların her birinde ikiye bölünürler. Artık paylaşmanın mümkün olmayacağı her kavşakta kaç kişi bulunacak. Cevabı Pascal üçgeninin 10. satırıdır (katsayı formülü yukarıda sunulmuştur), burada 210 sayıları dikey eksenin her iki yanında yer alır.
Görev 2. 7 renk adı vardır. 3 çiçekten bir buket yapmanız gerekiyor. Bunun kaç farklı şekilde yapılabileceğini bulmak gerekir. Bu sorun kombinatorik alanından kaynaklanmaktadır. Bunu çözmek için tekrar Pascal üçgenini kullanıyoruz ve 7. satırda üçüncü konumda (her iki durumda da 0'dan numaralandırma) 35 sayısını alıyoruz.
Artık büyük Fransız filozof ve bilim adamı Blaise Pascal'ın ne icat ettiğini biliyorsunuz. Ünlü üçgeni, doğru kullanıldığında, özellikle sahadaki birçok sorunu çözmek için gerçek bir cankurtaran olabilir.kombinatorik. Ayrıca, fraktallarla ilgili sayısız gizemi çözmek için kullanılabilir.
