Düz uzayda incelenen önemli bir geometrik nesne düz bir çizgidir. Üç boyutlu uzayda düz çizginin yanında bir de düzlem vardır. Her iki nesne de yön vektörleri kullanılarak uygun şekilde tanımlanır. Nedir, bu vektörler düz bir çizgi ve bir düzlemin denklemlerini belirlemek için nasıl kullanılır? Bu ve diğer sorular makalede ele alınmıştır.
Doğrudan hat ve nasıl tanımlanacağı
Her öğrencinin hangi geometrik nesneden bahsettiği hakkında iyi bir fikri vardır. Matematik açısından, düz bir çizgi, rastgele ikili bağlantı durumunda, bir dizi paralel vektöre yol açan bir dizi noktadır. Bir çizginin bu tanımı, onun için hem iki hem de üç boyutlu bir denklem yazmak için kullanılır.
Değerlendirilen tek boyutlu nesneyi tanımlamak için, aşağıdaki listede listelenen farklı denklem türleri kullanılır:
- genel görünüm;
- parametrik;
- vektör;
- kanonik veya simetrik;
- segmentlerde.
Bu türlerin her birinin diğerlerine göre bazı avantajları vardır. Örneğin, koordinat eksenlerine göre düz bir çizginin davranışını incelerken segmentlerdeki bir denklem kullanmak uygundur, belirli bir düz çizgiye dik bir yön bulurken ve ayrıca açısını hesaplarken genel bir denklem uygundur. x ekseni ile kesişme (düz bir durum için).
Bu makalenin konusu düz bir doğrunun yönlendirici vektörü ile ilgili olduğundan, yalnızca bu vektörün temel olduğu ve açıkça içerdiği denklemi, yani bir vektör ifadesini ele alacağız.
Vektör boyunca düz bir çizgi belirtme
Diyelim ki koordinatları bilinen (a; b; c) bir v¯ vektörümüz var. Üç koordinat olduğu için vektör uzayda verilmiştir. Dikdörtgen bir koordinat sisteminde nasıl tasvir edilir? Bu çok basit bir şekilde yapılır: üç eksenin her birinde, uzunluğu vektörün karşılık gelen koordinatına eşit olan bir segment çizilir. xy, yz ve xz düzlemlerine geri yüklenen üç dikmenin kesişme noktası vektörün sonu olacaktır. Başlangıcı noktadır (0; 0; 0).
Yine de, vektörün verilen konumu tek değildir. Benzer şekilde, orijini uzayda keyfi bir noktaya yerleştirerek v¯ çizilebilir. Bu argümanlar, bir vektör kullanarak belirli bir çizgi belirlemenin imkansız olduğunu söylüyor. Sonsuz sayıda paralel çizgiden oluşan bir aileyi tanımlar.
Şimdiuzayın bir P(x0; y0; z0) noktasını düzeltin. Ve koşulu belirledik: düz bir çizgi P'den geçmelidir. Bu durumda v¯ vektörü de bu noktayı içermelidir. Son gerçek, P ve v¯ kullanılarak tek bir satırın tanımlanabileceği anlamına gelir. Aşağıdaki denklem olarak yazılacaktır:
Q=P + λ × v¯
Burada Q, doğruya ait herhangi bir noktadır. Bu nokta, uygun λ parametresi seçilerek elde edilebilir. Yazılan denkleme vektör denklemi, v¯ ise doğrunun yön vektörü olarak adlandırılır. P'den geçecek şekilde düzenleyerek ve uzunluğunu λ parametresiyle değiştirerek, Q'nun her noktasını düz bir çizgi olarak elde ederiz.
Koordinat formunda denklem şu şekilde yazılacaktır:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Ve açık (parametrik) biçimde şunu yazabilirsiniz:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Yukarıdaki ifadelerde üçüncü koordinatı hariç tutarsak, o zaman düzlemdeki düz doğrunun vektör denklemlerini elde ederiz.
Yön vektörünü bilmek hangi görevler için yararlıdır?
Kural olarak bunlar, çizgilerin paralelliğini ve dikliğini belirleme görevleridir. Ayrıca, yönü belirleyen doğrudan vektör, düz çizgiler ile bir nokta ve bir düz çizgi arasındaki mesafeyi hesaplarken, düz bir çizginin bir düzleme göre davranışını tanımlamak için kullanılır.
İkiyön vektörleri ise paralel olacaktır. Buna göre, doğruların dikliği, vektörlerinin dikliği kullanılarak kanıtlanır. Bu tür problemlerde cevabı almak için ele alınan vektörlerin skaler çarpımını hesaplamak yeterlidir.
Çizgiler ve noktalar arasındaki mesafeleri hesaplama görevlerinde, yön vektörü ilgili formüle açıkça dahil edilir. Yazalım:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Burada P1P2¯ - P1 ve P noktaları üzerine kuruludur 2 yönlendirilmiş segment. P2 noktası keyfidir, v¯ vektörü ile doğru üzerinde uzanır, P1 noktası ise uzaklığın olması gereken noktadır. belirlenmeli. Bağımsız olabilir veya başka bir doğruya veya düzleme ait olabilir.
Yalnızca paralel veya kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi hesaplamanın mantıklı olduğunu unutmayın. Kesişirlerse, d sıfırdır.
d için yukarıdaki formül aynı zamanda bir düzlem ile ona paralel bir doğru arasındaki mesafeyi hesaplamak için de geçerlidir, sadece bu durumda P1 düzleme ait olmalıdır.
Değerlendirilen vektörün nasıl kullanılacağını daha iyi göstermek için birkaç problemi çözelim.
Vektör Denklemi Problemi
Düz bir çizginin aşağıdaki denklemle tanımlandığı bilinmektedir:
y=3 × x - 4
Uygun ifadeyi şuraya yazmalısınız:vektör formu.
Bu, her okul çocuğunun bildiği, genel biçimde yazılmış tipik bir düz çizgi denklemidir. Vektör biçiminde nasıl yeniden yazılacağını gösterelim.
İfade şu şekilde temsil edilebilir:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Görüldüğü gibi açarsanız orijinal eşitliği elde edersiniz. Şimdi sağ tarafını iki vektöre bölüyoruz, böylece bunlardan sadece biri x içeriyor, elimizde:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Geriye x'i parantezlerden çıkarmak, onu bir Yunan sembolüyle belirtmek ve sağ taraftaki vektörleri değiştirmek için kalır:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Orijinal ifadenin vektör biçimini aldık. Düz çizginin yön vektör koordinatları (1; 3)'tür.
Çizgilerin göreli konumunu belirleme görevi
Boşlukta iki satır verilmiştir:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Paralel mi, kesişen mi yoksa kesişen mi?
Sıfır olmayan vektörler (-1; 3; 1) ve (1; 2; 0) bu doğrular için kılavuz olacaktır. Bu denklemleri parametrik biçimde ifade edelim ve birincinin koordinatlarını ikincinin yerine koyalım. Şunu elde ederiz:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Bulunan λ parametresini yukarıdaki iki denklemde değiştirin, şunu elde ederiz:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parametre γ aynı anda iki farklı değer alamaz. Bu, doğruların tek bir ortak noktaya sahip olmadığı, yani kesiştikleri anlamına gelir. Sıfır olmayan vektörler birbirine paralel olmadığından paralel değildirler (paralellikleri için, bir vektörle çarpıldığında ikincinin koordinatlarına yol açacak bir sayı olmalıdır).
Uçağın matematiksel açıklaması
Uzayda bir düzlem ayarlamak için genel bir denklem veriyoruz:
A × x + B × y + C × z + D=0
Burada Latince büyük harfler belirli sayıları temsil eder. Bunlardan ilk üçü, düzlemin normal vektörünün koordinatlarını tanımlar. n¯ ile gösteriliyorsa, o zaman:
n¯=(A; B; C)
Bu vektör düzleme dik olduğundan buna kılavuz denir. Onun bilgisi ve uçağa ait herhangi bir noktanın bilinen koordinatları, ikincisini benzersiz bir şekilde belirler.
P(x1; y1; z1) noktasına aitse düzlem, ardından D kesişimi şu şekilde hesaplanır:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Düzlem için genel denklemi kullanarak birkaç problem çözelim.
Görevuçağın normal vektörünü bulma
Düzlem şu şekilde tanımlanır:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Onun için bir yön vektörü nasıl bulunur?
Yukarıdaki teoriden, normal vektör n¯'nin koordinatlarının değişkenlerin önündeki katsayılar olduğu sonucu çıkar. Bu bakımdan n¯'yi bulmak için denklemin genel şeklinde yazılması gerekir. Bizde:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
O zaman uçağın normal vektörü:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Düzlem denklemini çizme problemi
Üç noktanın koordinatları verilmiştir:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Bütün bu noktaları içeren düzlemin denklemi nasıl olacak.
Aynı doğruya ait olmayan üç noktadan sadece bir düzlem çizilebilir. Denklemini bulmak için önce n¯ düzleminin yön vektörünü hesaplıyoruz. Bunu yapmak için şu şekilde ilerliyoruz: düzleme ait rastgele iki vektör buluyoruz ve vektör ürünlerini hesaplıyoruz. Bu düzleme dik olacak bir vektör verecektir, yani n¯. Bizde:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Çizmek için M1noktasını alındüzlem ifadeler. Şunu elde ederiz:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Önce bir yön vektörü tanımlayarak uzaydaki bir düzlem için genel bir tip ifadesi elde ettik.
Çapraz çarpım özelliği, normal bir vektörün koordinatlarını basit bir şekilde belirlemenize izin verdiği için düzlemlerle ilgili problemleri çözerken hatırlanmalıdır.
