Cebirsel eşitsizlikler veya çözümleri tamsayılarda veya tamsayılarda aranan rasyonel katsayılı sistemler. Kural olarak, Diophant denklemlerinde bilinmeyenlerin sayısı daha fazladır. Bu nedenle belirsiz eşitsizlikler olarak da bilinirler. Modern matematikte, yukarıdaki kavram, çözümleri Q-rasyonel değişkenler alanının bir uzantısının cebirsel tamsayılarında, p-adic değişkenler alanında, vb. aranan cebirsel denklemlere uygulanır.
Bu eşitsizliklerin kökenleri
Diophantine denklemlerinin incelenmesi, sayılar teorisi ve cebirsel geometri arasındaki sınırdadır. Tamsayı değişkenlerinde çözüm bulmak en eski matematik problemlerinden biridir. Zaten MÖ 2. binyılın başında. eski Babilliler iki bilinmeyenli denklem sistemlerini çözmeyi başardılar. Bu matematik dalı en çok antik Yunanistan'da gelişti. Diophantus'un aritmetiği (yaklaşık MS 3. yüzyıl), çeşitli denklem türlerini ve sistemlerini içeren önemli ve ana bir kaynaktır.
Bu kitapta Diophantus, ikinci ve üçüncünün eşitsizliklerini incelemek için bir dizi yöntem öngördü.19. yüzyılda tamamen geliştirilen dereceler. Bu antik Yunan araştırmacısı tarafından rasyonel sayılar teorisinin yaratılması, kitabında sistematik olarak takip edilen belirsiz sistemlere mantıksal çözümlerin analizine yol açtı. Çalışması belirli Diophantine denklemlerinin çözümlerini içermesine rağmen, birkaç genel yönteme de aşina olduğuna inanmak için nedenler var.
Bu eşitsizliklerin incelenmesi genellikle ciddi zorluklarla ilişkilendirilir. F (x, y1, …, y) tamsayı katsayılarına sahip polinomlar içermeleri nedeniyle. Buna dayanarak, verilen herhangi bir x için F (x, y1, …., y) denkleminin olup olmadığını belirlemek için kullanılabilecek tek bir algoritma olmadığı sonucuna varıldı.). Durum y1, …, y için çözülebilir. Bu tür polinomların örnekleri yazılabilir.
En basit eşitsizlik
ax + by=1, burada a ve b nispeten tam sayı ve asal sayılardır, çok sayıda yürütmeye sahiptir (eğer x0, y0 sonuç oluşturulur, ardından x=x0 + b ve y=y0 değişken çifti -an, burada n keyfi bir eşitsizlik olarak kabul edilecektir). Diophant denklemlerine başka bir örnek de x2 + y2 =z2'dır. Bu eşitsizliğin pozitif integral çözümleri, küçük kenarlar x, y ve dik üçgenlerin uzunlukları ile tamsayı kenar boyutlarına sahip hipotenüs z'dir. Bu sayılar Pisagor sayıları olarak bilinir. Belirtilen asal sayıya göre tüm üçüzleryukarıdaki değişkenler x=m2 – n2, y=2mn, z=m2 ile verilmiştir+ n2, burada m ve n tam sayılar ve asal sayılardır (m>n>0).
Diophantus Aritmetiğinde, kendi eşitsizliklerinin özel türlerinin rasyonel (mutlaka bütünsel değil) çözümlerini arar. Birinci dereceden diofantin denklemlerini çözmek için genel bir teori, 17. yüzyılda C. G. Baschet tarafından geliştirildi. 19. yüzyılın başlarındaki diğer bilim adamları, çoğunlukla ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0 gibi benzer eşitsizlikler üzerinde çalıştılar. burada a, b, c, d, e ve f geneldir, ikinci dereceden iki bilinmeyenli heterojendir. Lagrange, çalışmasında sürekli kesirler kullandı. İkinci dereceden formlar için Gauss, bazı çözüm türlerinin altında yatan genel bir teori geliştirdi.
Bu ikinci dereceden eşitsizliklerin incelenmesinde ancak 20. yüzyılda önemli ilerleme kaydedildi. A. Thue, Diophantine denkleminin a0x + a1xn- 1 olduğunu buldu y +…+a y =c, burada n≧3, a0, …, a , c tam sayılardır ve a0tn + …+ a sonsuz sayıda tamsayı çözümüne sahip olamaz. Bununla birlikte, Thue'nin yöntemi uygun şekilde geliştirilmemiştir. A. Baker, bu tür bazı denklemlerin performansı hakkında tahminler veren etkili teoremler yarattı. BN Delaunay, bu eşitsizliklerin daha dar bir sınıfına uygulanabilecek başka bir araştırma yöntemi önerdi. Özellikle, ax3 + y3 =1 formu bu şekilde tamamen çözülebilir.
Diophant denklemleri: çözüm yöntemleri
Diophantus teorisinin birçok yönü vardır. Bu nedenle, bu sistemdeki iyi bilinen bir problem, xn + y =z Diophant denklemlerinin önemsiz olmayan bir çözümünün olmadığı hipotezidir. n if n ≧ 3 (Fermat'ın sorusu). Eşitsizliğin tamsayı yerine getirilmesinin incelenmesi, Pisagor üçüzleri sorununun doğal bir genellemesidir. Euler, n=4 için Fermat probleminin pozitif bir çözümünü elde etti. Bu sonuçtan dolayı, n tek bir asal sayı ise denklemin eksik tamsayı, sıfır olmayan çalışmalarının kanıtını ifade eder.
Kararla ilgili çalışma tamamlanmadı. Uygulanmasıyla ilgili zorluklar, cebirsel tamsayılar halkasındaki basit çarpanlara ayırmanın benzersiz olmaması gerçeğiyle ilgilidir. Bu sistemdeki birçok asal üs sınıfı için bölen teorisi, Fermat teoreminin geçerliliğini doğrulamayı mümkün kılar. Böylece, iki bilinmeyenli doğrusal Diophant denklemi, mevcut yöntemler ve yollarla yerine getirilir.
Açıklanan görevlerin türleri ve türleri
Cebirsel tamsayıların halkalarının aritmetiği, diğer birçok problemde ve Diophant denklemlerinin çözümlerinde de kullanılır. Örneğin, N(a1 x1 +…+ a biçimindeki eşitsizlikleri yerine getirirken bu tür yöntemler uygulandı. x)=m, burada N(a) a'nın normudur ve x1, …, xn integral rasyonel değişkenler bulunur. Bu sınıf, x2–dy2=1. Pell denklemini içerir.
a1, …, a değerleri belirir, bu denklemler iki türe ayrılır. İlk tür - sözde tam formlar - a arasında rasyonel değişkenler alanı üzerinde m lineer bağımsız sayının bulunduğu denklemleri içerir, burada m=[Q(a1, …, a):Q], burada Q (a1, …, a ) cebirsel üslerinin bir derecesi vardır. a i maksimum sayısı m'den az.
Tam formlar daha basittir, çalışmaları tamamlanmıştır ve tüm çözümler tarif edilebilir. İkinci tip, tamamlanmamış türler daha karmaşıktır ve böyle bir teorinin gelişimi henüz tamamlanmamıştır. Bu tür denklemler, F(x, y)=C eşitsizliğini içeren Diophantine yaklaşımları kullanılarak incelenir; burada F (x, y), n≧3 dereceli, indirgenemez, homojen bir polinomdur. Böylece, yi→∞ olduğunu varsayabiliriz. Buna göre, eğer yi yeterince büyükse, o zaman eşitsizlik Thue, Siegel ve Roth teoremi ile çelişecektir, bu teoremden F(x, y)=C çıkar, burada F'dir. üçüncü derece veya daha yüksek bir form, indirgenemez sonsuz sayıda çözüme sahip olamaz.
Diophantine denklemi nasıl çözülür?
Bu örnek, hepsi arasında oldukça dar bir sınıftır. Örneğin, basitliklerine rağmen, x3 + y3 + z3=N ve x2 +y 2 +z2 +u2 =N bu sınıfa dahil değildir. Çözümlerin incelenmesi, temelin ikinci dereceden sayı biçimleriyle temsil edildiği Diophant denklemlerinin oldukça dikkatli bir şekilde çalışılmış bir dalıdır. Lagrangeyerine getirmenin tüm doğal N için var olduğunu söyleyen bir teorem yarattı. Herhangi bir doğal sayı üç karenin toplamı olarak gösterilebilir (Gauss teoremi), ancak 4a biçiminde olmamalıdır (8K- 1), burada a ve k negatif olmayan tamsayı üsleridir.
F tipi bir Diophantine denklem sistemine (x1, …, x)=a, burada F (x 1, …, x) tamsayı katsayıları olan ikinci dereceden bir formdur. Böylece, Minkowski-Hasse teoremine göre, ∑aijxixj=b ijeşitsizliği ve b rasyoneldir, ancak bu yapıda çözülebilir ise her p asal sayısı için reel ve p-adik sayılarda integral çözümü vardır.
İçerdiği zorluklar nedeniyle, üçüncü derece ve üzeri keyfi formlara sahip sayıların incelenmesi daha az çalışılmıştır. Ana yürütme yöntemi, trigonometrik toplamlar yöntemidir. Bu durumda, denklemin çözümlerinin sayısı açıkça Fourier integrali cinsinden yazılır. Bundan sonra, ilgili denkliklerin eşitsizliğinin yerine getirilme sayısını ifade etmek için çevre yöntemi kullanılır. Trigonometrik toplamlar yöntemi, eşitsizliklerin cebirsel özelliklerine bağlıdır. Doğrusal Diophant denklemlerini çözmek için çok sayıda temel yöntem vardır.
Diophantine analizi
Cebir denklem sistemlerinin integral ve rasyonel çözümlerinin geometri yöntemleriyle incelenmesi olan matematik bölümü, aynıküreler. 19. yüzyılın ikinci yarısında, bu sayı teorisinin ortaya çıkması, Diophant denklemlerinin katsayılı keyfi bir alandan çalışmasına yol açtı ve çözümler ya içinde ya da halkalarında düşünüldü. Sayılarla paralel olarak geliştirilen cebirsel fonksiyonlar sistemi. D. Hilbert ve özellikle L. Kronecker tarafından vurgulanan ikisi arasındaki temel analoji, genellikle küresel olarak adlandırılan çeşitli aritmetik kavramların tek tip inşasına yol açtı.
Bu, özellikle sonlu bir sabitler alanı üzerinde çalışılan cebirsel fonksiyonlar tek değişkenliyse fark edilir. Sınıf alan teorisi, bölen ve dallanma ve sonuçlar gibi kavramlar, yukarıdakilerin iyi bir örneğidir. Bu bakış açısı ancak daha sonra Diophantine eşitsizlikler sisteminde benimsendi ve sadece sayısal katsayılarla değil, aynı zamanda fonksiyon olan katsayılarla da sistematik araştırmalar ancak 1950'lerde başladı. Bu yaklaşımdaki belirleyici faktörlerden biri cebirsel geometrinin gelişimiydi. Aynı konunun eşit derecede önemli iki yönü olarak ortaya çıkan sayı ve fonksiyon alanlarının eşzamanlı olarak incelenmesi, zarif ve inandırıcı sonuçlar vermesinin yanı sıra iki konunun karşılıklı olarak zenginleşmesine de yol açmıştır.
Cebirsel geometride, çeşitlilik kavramı, belirli bir K alanı üzerinde değişmez olmayan bir eşitsizlikler kümesi ile değiştirilir ve bunların çözümleri, K veya sonlu uzantısındaki değerlere sahip rasyonel noktalarla değiştirilir. Buna göre Diophant geometrisinin temel sorununun rasyonel noktaların incelenmesi olduğu söylenebilir.bir cebirsel kümenin X(K), X, K alanındaki belirli sayılardır. Tamsayı yürütme, doğrusal Diofant denklemlerinde geometrik bir anlama sahiptir.
Eşitsizlik çalışmaları ve yürütme seçenekleri
Cebirsel varyeteler üzerinde rasyonel (veya integral) noktaları incelerken, onların varlığı olan ilk problem ortaya çıkar. Hilbert'in onuncu problemi, bu problemi çözmek için genel bir yöntem bulma problemi olarak formüle edilmiştir. Algoritmanın tam bir tanımını oluşturma sürecinde ve çok sayıda problem için böyle bir yürütmenin olmadığı kanıtlandıktan sonra, problem bariz bir olumsuz sonuç aldı ve en ilginç soru Diophant denklemlerinin sınıflarının tanımıdır. bunun için yukarıdaki sistem mevcuttur. Cebirsel bakış açısından en doğal yaklaşım, Hasse ilkesi olarak adlandırılan ilkedir: ilk alan K, tüm olası tahminler üzerinden Kv tamamlamalarıyla birlikte incelenir. X(K)=X(Kv) varoluş için gerekli bir koşul olduğundan ve K noktası, X(Kv kümesinin) tüm v. için boş değil
Önemi iki sorunu bir araya getirmesinde yatar. İkincisi çok daha basit, bilinen bir algoritma ile çözülebilir. X çeşidinin yansıtmalı olduğu özel durumda, Hansel'in lemması ve genellemeleri daha fazla indirgemeyi mümkün kılar: problem, sonlu bir alan üzerindeki rasyonel noktaların çalışmasına indirgenebilir. Ardından, tutarlı araştırmalar veya daha etkili yöntemlerle bir konsept oluşturmaya karar verir.
Sonönemli bir husus, X(Kv) kümelerinin sonlu sayıda v hariç tümü için boş olmamasıdır, bu nedenle koşulların sayısı her zaman sonludur ve etkili bir şekilde test edilebilirler. Ancak Hasse ilkesi derece eğrileri için geçerli değildir. Örneğin, 3x3 + 4y3=5, tüm p-adic sayı alanlarında puana sahiptir ve reel sayılar sisteminde, ancak rasyonel noktaları yoktur.
Bu yöntem, Hasse ilkesinden bir "sapma" gerçekleştirmek için Abelian çeşitlerinin temel homojen uzaylarının sınıflarını tanımlayan bir kavram oluşturmak için bir başlangıç noktası olarak hizmet etti. Her bir manifoldla (Tate-Shafarevich grubu) ilişkilendirilebilen özel bir yapı olarak tanımlanır. Teorinin ana zorluğu, grupları hesaplama yöntemlerinin elde edilmesinin zor olması gerçeğinde yatmaktadır. Bu kavram, diğer cebirsel çeşit sınıflarına da genişletildi.
Eşitsizlikleri gidermek için bir algoritma arayın
Diophantine denklemlerinin çalışmasında kullanılan başka bir buluşsal fikir, bir eşitsizlikler kümesinde yer alan değişkenlerin sayısı büyükse, sistemin genellikle bir çözümü olduğudur. Ancak, herhangi bir özel durum için bunu kanıtlamak çok zordur. Bu tür problemlere genel yaklaşım, analitik sayı teorisini kullanır ve trigonometrik toplamlar için tahminlere dayanır. Bu yöntem başlangıçta özel denklem türlerine uygulandı.
Ancak, daha sonra yardımıyla, bir tek derecenin biçimi F ise, d'de olduğu kanıtlandı.ve n değişkenleri ve rasyonel katsayıları ile, o zaman n, d'ye kıyasla yeterince büyüktür, bu nedenle projektif hiperyüzey F=0'ın rasyonel bir noktası vardır. Artin'in varsayımına göre, bu sonuç n > d2 olsa bile doğrudur.. Bu sadece ikinci dereceden formlar için kanıtlanmıştır. Benzer sorunlar başka alanlar için de sorulabilir. Diophant geometrisinin temel sorunu, tamsayı veya rasyonel noktalar kümesinin yapısı ve incelenmesidir ve açıklığa kavuşturulması gereken ilk soru, bu kümenin sonlu olup olmadığıdır. Bu problemde, sistemin derecesi değişkenlerin sayısından çok daha büyükse, durum genellikle sınırlı sayıda yürütmeye sahiptir. Bu temel varsayımdır.
Doğrular ve eğriler üzerinde eşitsizlikler
X(K) grubu, r dereceli bir serbest yapının ve n dereceli sonlu bir grubun doğrudan toplamı olarak temsil edilebilir. 1930'lardan beri, bu sayıların belirli bir K alanı üzerindeki tüm eliptik eğriler kümesinde sınırlı olup olmadığı sorusu araştırıldı. Burulma n'nin sınırlılığı yetmişlerde gösterildi. İşlevsel durumda keyfi yüksek dereceli eğriler vardır. Sayısal durumda bu sorunun cevabı hala yok.
Son olarak, Mordell'in varsayımı, g>1 cinsinin bir eğrisi için integral noktalarının sayısının sonlu olduğunu belirtir. İşlevsel durumda, bu kavram 1963'te Yu. I. Manin tarafından gösterildi. Diophantine geometrisinde sonluluk teoremlerini ispatlamada kullanılan temel araç yüksekliktir. Cebirsel çeşitlerden birinin üzerindeki boyutlar değişmelieliptik eğrilerin çok boyutlu analogları olan manifoldlar en kapsamlı şekilde incelenmiştir.
A. Weil, bir grup rasyonel noktanın üreteç sayısının sonluluğuna ilişkin teoremi, onu genişleterek, herhangi bir boyuttaki Abelian çeşitlerine (Mordell-Weil kavramı) genelleştirdi. 1960'larda Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı ortaya çıktı ve bunu ve manifoldun grup ve zeta fonksiyonlarını geliştirdi. Sayısal kanıtlar bu hipotezi desteklemektedir.
Çözülebilirlik sorunu
Herhangi bir Diophantine denkleminin bir çözümü olup olmadığını belirlemek için kullanılabilecek bir algoritma bulma sorunu. Ortaya konan problemin temel bir özelliği, herhangi bir eşitsizliğe uygun evrensel bir yöntem arayışıdır. Böyle bir yöntem, P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 veya p21+ ⋯ + P2K=0'a eşdeğer olduğu için yukarıdaki sistemlerin çözülmesine de izin verir. n12+⋯+pK2=0. Tam sayılardaki doğrusal eşitsizlikler için çözümler bulmak için böyle evrensel bir yol bulma sorunu, D. Gilbert.
1950'lerin başında, Diophant denklemlerini çözmek için bir algoritmanın olmadığını kanıtlamayı amaçlayan ilk çalışmalar ortaya çıktı. Bu sırada, herhangi bir numaralandırılabilir kümenin de Yunan bilim adamına ait olduğunu söyleyen Davis varsayımı ortaya çıktı. Çünkü algoritmik olarak karar verilemeyen kümelerin örnekleri bilinmektedir, ancak yinelemeli olarak sayılabilirler. Davis varsayımının doğru olduğunu ve bu denklemlerin çözülebilirlik problemininolumsuz bir yürütme var.
Bundan sonra, Davis varsayımı için, aynı zamanda bir çözümü olan (veya olmayan) bir eşitsizliği dönüştürmek için bir yöntem olduğunu kanıtlamak kalıyor. Yukarıdaki iki özelliğe sahipse, Diophantine denkleminde böyle bir değişikliğin mümkün olduğu gösterilmiştir: 1) bu tip herhangi bir çözümde v ≦ uu; 2) herhangi bir k için, üstel büyümeli bir yürütme vardır.
Bu sınıfın doğrusal bir Diophantine denklemi örneği ispatı tamamladı. Rasyonel sayılardaki bu eşitsizliklerin çözülebilirliği ve tanınması için bir algoritmanın varlığı sorunu, hala yeterince çalışılmamış önemli ve açık bir soru olarak kabul edilmektedir.
