Basit ve kısaca ifade etmek gerekirse, kapsam herhangi bir fonksiyonun alabileceği değerlerdir. Bu konuyu tam olarak keşfetmek için aşağıdaki noktaları ve kavramları kademeli olarak sökmeniz gerekir. Önce fonksiyonun tanımını ve görünüşünün tarihçesini anlayalım.
İşlev nedir
Tüm kesin bilimler bize, söz konusu değişkenlerin bir şekilde birbirine bağlı olduğu birçok örnek sunar. Örneğin, bir maddenin yoğunluğu tamamen kütlesi ve hacmi ile belirlenir. İdeal bir gazın sabit hacimdeki basıncı sıcaklığa göre değişir. Bu örnekler, tüm formüllerin değişkenler arasında işlevsel olarak adlandırılan bağımlılıklara sahip olması gerçeğiyle birleştirilmiştir.
A işlevi, bir niceliğin diğerine bağımlılığını ifade eden bir kavramdır. y=f(x) biçimindedir; burada y, x'e - argümana bağlı olan fonksiyonun değeridir. Böylece y'nin x'in değerine bağlı bir değişken olduğunu söyleyebiliriz. x'in birlikte alabileceği değerlerverilen fonksiyonun etki alanı (D(y) veya D(f)) ve buna göre y değerleri, fonksiyon değerleri kümesini (E(f) veya E(y)) oluşturur. Bir fonksiyonun bir formülle verildiği durumlar vardır. Bu durumda, tanım alanı, formülle gösterimin anlamlı olduğu bu tür değişkenlerin değerinden oluşur.
Eşleşen veya eşit özellikler var. Bunlar, eşit geçerli değer aralıklarına sahip iki fonksiyondur ve aynı argümanların tümü için fonksiyonun kendisinin değerleri eşittir.
Kesin bilimlerin birçok kanunu, gerçek hayattaki durumlara benzer şekilde adlandırılır. Matematiksel fonksiyon hakkında da çok ilginç bir gerçek var. Aynı limite sahip iki diğer - yaklaşık iki polis - arasında "sandviçlenmiş" bir fonksiyonun limiti hakkında bir teorem vardır. Bunu şu şekilde açıklıyorlar: İki polis mahkûmu aralarındaki bir hücreye götürdüğü için suçlu oraya gitmeye zorlanıyor ve başka seçeneği yok.
Tarihsel özellik referansı
Bir fonksiyon kavramı hemen nihai ve kesin hale gelmedi, uzun bir oluş yolundan geçti. İlk olarak, Fermat'ın 17. yüzyılın sonlarında yayınlanan Düzlem ve Katı Yerlerin Girişi ve Çalışması şunları ifade etti:
Son denklemde iki bilinmeyen olduğunda, yer vardır.
Genel olarak, bu çalışma işlevsel bağımlılıktan ve onun maddi görüntüsünden (yer=çizgi) bahseder.
Ayrıca, yaklaşık olarak aynı zamanlarda, Rene Descartes "Geometri" (1637) adlı çalışmasında doğruları denklemleriyle inceledi.iki niceliğin birbirine bağımlılığı.
"İşlev" teriminin tam olarak bahsi, Leibniz'le birlikte ancak 17. yüzyılın sonunda ortaya çıktı, ancak modern yorumunda değil. Bilimsel çalışmasında, bir fonksiyonun eğri bir çizgiyle ilişkili çeşitli segmentler olduğunu düşündü.
Fakat zaten 18. yüzyılda, işlev daha doğru bir şekilde tanımlanmaya başladı. Bernoulli şunları yazdı:
Bir fonksiyon, bir değişken ve bir sabitten oluşan bir değerdir.
Euler'ın düşünceleri de buna yakındı:
Değişken nicelik işlevi, bu değişken nicelik ve sayılardan veya sabit niceliklerden bir şekilde oluşan analitik bir ifadedir.
Bazı nicelikler, diğerlerine, ikincisi değiştiğinde, kendileri de değişecek şekilde bağımlıysa, o zaman birincisine ikincisinin işlevleri denir.
Fonksiyon Grafiği
Fonksiyonun grafiği, apsisi argümanın değerlerini alan koordinat düzleminin eksenlerine ait tüm noktalardan oluşur ve fonksiyonun bu noktalardaki değerleri koordinatlardır.
Bir fonksiyonun kapsamı doğrudan onun grafiğiyle ilgilidir, çünkü eğer herhangi bir apsis geçerli değerler aralığı tarafından hariç tutulursa, o zaman grafik üzerinde boş noktalar çizmeniz veya grafiği belirli sınırlar içinde çizmeniz gerekir. Örneğin, y=tgx biçiminde bir grafik alınırsa, x=pi / 2 + pin değeri, n∉R tanım alanından çıkarılır, teğet bir grafik durumunda, çizmeniz gerekir.±pi/2. noktalarından geçen y eksenine paralel dikey çizgiler (bunlara asimptot denir)
İşlevlerin kapsamlı ve dikkatli bir şekilde incelenmesi, matematiğin kalkülüs adı verilen geniş bir dalını oluşturur. İlköğretim matematikte, örneğin basit bir grafik oluşturma ve bir işlevin bazı temel özelliklerini belirleme gibi işlevlerle ilgili temel sorulara da değinilir.
Hangi işlevolarak ayarlanabilir
İşlev şunları yapabilir:
- bir formül olun, örneğin: y=cos x;
- (x; y) biçimindeki herhangi bir çift tablosuyla ayarlanır;
- hemen grafiksel bir görünüme sahip olun, bunun için formun önceki öğesinden (x;y) gelen çiftler koordinat eksenlerinde görüntülenmelidir.
Bazı üst düzey problemleri çözerken dikkatli olun, hemen hemen her ifade, y (x) fonksiyonunun değeri için bazı argümanlara göre bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Bu tür görevlerde tanım alanını bulmak çözümün anahtarı olabilir.
Kapsam nedir?
Bir işlevi incelemek veya oluşturmak için bir işlev hakkında bilmeniz gereken ilk şey kapsamıdır. Grafik, yalnızca işlevin var olabileceği noktaları içermelidir. Tanım alanı (x), kabul edilebilir değerlerin alanı (ODZ olarak kıs altılır) olarak da ifade edilebilir.
Bir fonksiyon grafiğini doğru ve hızlı bir şekilde oluşturmak için, bu fonksiyonun etki alanını bilmeniz gerekir, çünkü grafiğin görünümü ve aslına uygunluğu buna bağlıdırinşaat. Örneğin, bir y=√x işlevi oluşturmak için, x'in yalnızca pozitif değerler alabileceğini bilmeniz gerekir. Bu nedenle, yalnızca ilk koordinat çeyreğinde oluşturulur.
Temel fonksiyonlar örneğinde tanım kapsamı
Matematik, cephaneliğinde az sayıda basit, tanımlı işleve sahiptir. Sınırlı bir kapsamları vardır. Bu sorunun çözümü, önünüzde sözde karmaşık bir fonksiyon olsa bile zorluk yaratmayacaktır. Bu sadece birkaç basit kombinasyonun birleşimidir.
- Yani, fonksiyon kesirli olabilir, örneğin: f(x)=1/x. Böylece değişken (argümanımız) paydadadır ve herkes bir kesrin paydasının 0'a eşit olamayacağını bilir, bu nedenle argüman 0 dışında herhangi bir değer alabilir. Gösterim şöyle görünecektir: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Paydada değişkenli bir ifade varsa, o zaman denklemi x için çözmeniz ve paydayı 0'a çeviren değerleri hariç tutmanız gerekir. Şematik bir temsil için, iyi seçilmiş 5 nokta yeterlidir. Bu fonksiyonun grafiği, (0; 0) noktasından geçen dikey bir asimptotu ve birlikte Ox ve Oy eksenlerini içeren bir hiperbol olacaktır. Grafik görüntü asimptotlarla kesişiyorsa, böyle bir hata en büyük hata olarak kabul edilecektir.
- Fakat kökün etki alanı nedir? Bir değişken içeren radikal ifadeli (f(x)=√(2x + 5)) bir fonksiyonun alanı da kendi nüanslarına sahiptir (yalnızca bir çift derecenin kökü için geçerlidir). Gibiaritmetik kök pozitif bir ifadedir veya 0'a eşittir, o zaman kök ifadesi 0'dan büyük veya 0'a eşit olmalıdır, aşağıdaki eşitsizliği çözeriz: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, bu nedenle, bunun alanı fonksiyon: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Grafik, birinci koordinat çeyreğinde yer alan, 90 derece döndürülmüş bir parabolün dallarından biridir.
- Bir logaritmik fonksiyon ile uğraşıyorsak, logaritmanın tabanı ve logaritmanın işaretinin altındaki ifade ile ilgili bir kısıtlama olduğunu unutmamalısınız, bu durumda tanım alanını şu şekilde bulabilirsiniz. takip eder. Bir fonksiyonumuz var: y=loga(x + 7), eşitsizliği çözüyoruz: x + 7 > 0, x > -7. O halde bu fonksiyonun tanım kümesi D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Ayrıca y=tgx ve y=ctgx biçimindeki trigonometrik fonksiyonlara da dikkat edin, çünkü y=tgx=sinx/cos/x ve y=ctgx=cosx/sinx, bu nedenle değerleri hariç tutmanız gerekir paydanın sıfıra eşit olabileceği. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerine aşina iseniz, onların etki alanını anlamak basit bir iştir.
Karmaşık işlevlerle nasıl farklı çalışır
Birkaç temel kuralı unutmayın. Karmaşık bir fonksiyonla çalışıyorsak, bir şeyi çözmeye, sadeleştirmeye, kesirler eklemeye, en küçük ortak paydaya indirgemeye ve kökleri çıkarmaya gerek yoktur. Bu işlevi araştırmalıyız çünkü farklı (hatta aynı) işlemler işlevin kapsamını değiştirerek yanlış bir yanıta neden olabilir.
Örneğin, karmaşık bir fonksiyonumuz var: y=(x2 - 4)/(x - 2). Kesrin payını ve paydasını az altamayız, çünkü bu ancak x ≠ 2 ise mümkündür ve bu işlevin tanım kümesini bulma görevidir, bu nedenle payı çarpanlarına ayırmayız ve herhangi bir eşitsizliği çözmeyiz, çünkü çıplak gözle görülebilen, fonksiyonun bulunmadığı değer. Bu durumda, x 2 değerini alamaz, çünkü payda 0'a gidemez, gösterim şöyle görünecektir: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Karşılıklı fonksiyonlar
Yeni başlayanlar için, bir fonksiyonun yalnızca bir artış veya azalış aralığında tersine çevrilebileceğini söylemeye değer. Ters fonksiyonu bulmak için, notasyonda x ve y'yi değiştirmeli ve denklemi x için çözmelisiniz. Tanım alanları ve değer alanları basitçe tersine çevrilir.
Tersinirliğin ana koşulu, bir fonksiyonun monoton aralığıdır, eğer bir fonksiyonun artış ve azalış aralıkları varsa, o zaman herhangi bir aralığın (artan veya azalan) ters fonksiyonunu oluşturmak mümkündür.
Örneğin, üstel fonksiyon y=ex için karşılıklı, doğal logaritmik fonksiyon y=logea=lna. Trigonometri için bunlar, arc- önekine sahip fonksiyonlar olacaktır: y=sinx ve y=arcsinx vb. Grafikler bazı eksenlere veya asimptotlara göre simetrik olarak yerleştirilecektir.
Sonuçlar
Kabul edilebilir değerler aralığını aramak, fonksiyonların grafiğini incelemeye gelir (varsa),gerekli özel eşitsizlik sistemini kaydetme ve çözme.
Yani, bu makale bir işlevin kapsamının ne için olduğunu ve onu nasıl bulacağınızı anlamanıza yardımcı oldu. Temel okul kursunu iyi anlamanıza yardımcı olacağını umuyoruz.
