Okuyucunun bir hiperboloidin - üç boyutlu bir nesnenin - ne olduğunu hayal etmesini kolaylaştırmak için, önce iki boyutlu bir uzaya uyan aynı adı taşıyan eğri hiperbolü düşünmeniz gerekir.
Bir hiperbolün iki ekseni vardır: bu şekilde apsis ekseniyle çakışan gerçek eksen ve y ekseniyle hayali eksen. Bir hiperbol denklemini zihinsel olarak hayali ekseni etrafında döndürmeye başlarsanız, eğri tarafından "görülen" yüzey tek tabakalı bir hiperboloid olacaktır.
Ancak, hiperbolü bu şekilde gerçek ekseni etrafında döndürmeye başlarsak, eğrinin iki "yarısının" her biri kendi ayrı yüzeyini oluşturacak ve birlikte buna iki- tabakalı hiperboloid.
Karşılık gelen düzlem eğrisinin döndürülmesiyle elde edilenlere sırasıyla hiperboloidler denir. Dönme eksenine dik tüm yönlerde parametreleri vardır,döndürülen eğriye aittir. Genel olarak durum böyle değil.
Hiperboloid denklemi
Genel olarak, bir yüzey Kartezyen koordinatlarda(x, y, z) aşağıdaki denklemlerle tanımlanabilir:
Devrim hiperboloidi durumunda, etrafında döndüğü eksene göre simetrisi, katsayıların eşitliği ile ifade edilir a=b.
Hiperboloid özellikler
Bir numarası var. Bir düzlemdeki eğrilerin odakları olduğunu biliyoruz - bir hiperbol durumunda, örneğin, bir hiperbol üzerindeki rastgele bir noktadan bir odak noktasına olan mesafelerdeki farkın modülü ve ikincisi tanım gereği sabittir, aslında, odak puan.
Üç boyutlu uzaya geçerken, tanım pratikte değişmez: odaklar yine iki noktadır ve onlardan hiperboloid yüzeye ait keyfi bir noktaya olan mesafelerdeki fark sabittir. Gördüğünüz gibi, olası tüm noktalar için değişikliklerden yalnızca üçüncü koordinat ortaya çıktı, çünkü şimdi uzayda ayarlanmışlar. Genel olarak konuşursak, bir odak tanımlamak, eğri veya yüzey tipini belirlemeye eşdeğerdir: yüzeydeki noktaların odaklara göre nasıl konumlandığı hakkında konuşarak, aslında hiperboloidin ne olduğu ve nasıl göründüğü sorusuna cevap veririz.
Bir hiperbolün asimptotları olduğunu hatırlamakta fayda var - dallarının sonsuzluğa yöneldiği düz çizgiler. Bir hiperboloit devrimi oluştururken, hiperbol ile birlikte asimptotları zihinsel olarak döndürürseniz, hiperboloide ek olarak, asimptotik olarak adlandırılan bir koni de elde edilir. asimptotik konitek yapraklı ve iki yapraklı hiperboloidler için.
Yalnızca tek katmanlı bir hiperboloidin sahip olduğu bir diğer önemli özellik, doğrusal üreteçlerdir. Adından da anlaşılacağı gibi, bunlar çizgilerdir ve tamamen belirli bir yüzey üzerinde bulunurlar. İki doğrusal jeneratör, tek tabakalı bir hiperboloidin her noktasından geçer. Sırasıyla aşağıdaki denklem sistemleriyle tanımlanan iki çizgi ailesine aittirler:
Böylece, tek yapraklı bir hiperboloid tamamen iki ailenin sonsuz sayıda düz çizgisinden oluşabilir ve bunlardan birinin her çizgisi diğerinin tüm çizgileriyle kesişecektir. Bu özelliklere karşılık gelen yüzeylere çizgili denir; bir düz çizginin dönüşü kullanılarak oluşturulabilirler. Uzayda çizgilerin karşılıklı düzenlenmesi (doğrusal üreteçler) yoluyla yapılan tanımlama, bir hiperboloidin ne olduğunun açık bir tanımı olarak da hizmet edebilir.
Hiperboloidin ilginç özellikleri
İkinci dereceden eğriler ve bunlara karşılık gelen dönüş yüzeylerinin her biri, odaklarla ilişkili ilginç optik özelliklere sahiptir. Bir hiperboloid durumunda, bu şu şekilde formüle edilir: bir odaktan bir ışın ateşlenirse, en yakın "duvardan" yansıdıktan sonra, ikinci odaktan geliyormuş gibi bir yön alacaktır.
Hayatta hiperboloidler
Büyük olasılıkla çoğu okuyucu, analitik geometri ve ikinci dereceden yüzeylerle tanışmaya Alexei Tolstoy'un bir bilim kurgu romanından başladı"Hiperboloid mühendisi Garin". Bununla birlikte, yazarın kendisi ya hiperboloidin ne olduğunu iyi bilmiyordu ya da sanat uğruna doğruluğu feda etti: Tanımlanan buluş, fiziksel özellikler açısından, tüm ışınları tek bir odakta toplayan bir paraboloiddir. hiperboloidin optik özellikleri, ışınların saçılmasıyla ilişkilidir).
Sözde hiperboloid yapılar mimaride çok popülerdir: bunlar tek tabakalı hiperboloid veya hiperbolik paraboloid şeklinde olan yapılardır. Gerçek şu ki, yalnızca ikinci dereceden devir yüzeylerinin doğrusal jeneratörleri vardır: bu nedenle, kavisli bir yapı yalnızca düz kirişlerden inşa edilebilir. Bu tür yapıların avantajları, örneğin rüzgardan ağır yüklere dayanma kabiliyetindedir: hiperboloid şekil, örneğin televizyon kuleleri gibi yüksek yapıların yapımında kullanılır.
