Eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri lise cebirinde öğretilen konulardan biridir. Zorluk açısından en zoru değil, çünkü basit kuralları var (biraz sonra onlar hakkında). Kural olarak, okul çocukları eşitsizlik sistemlerinin çözümünü oldukça kolay öğrenirler. Bu aynı zamanda öğretmenlerin öğrencilerini bu konuda basitçe "eğitmeleri" gerçeğinden de kaynaklanmaktadır. Ve bunu yapamazlar, çünkü gelecekte diğer matematiksel niceliklerin kullanımıyla incelenir ve ayrıca OGE ve Birleşik Devlet Sınavı için kontrol edilir. Okul ders kitaplarında, eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri konusu çok ayrıntılı olarak işlenir, bu yüzden çalışacaksanız, onlara başvurmak en iyisidir. Bu makale yalnızca çok fazla materyalin bir ifadesidir ve bazı eksiklikler içerebilir.
Eşitsizlikler sistemi kavramı
Bilimsel dile dönersek, "sistem" kavramını tanımlayabiliriz.eşitsizlikler". Bu, birkaç eşitsizliği temsil eden böyle bir matematiksel modeldir. Elbette, bu model bir çözüm gerektirir ve görevde önerilen sistemin tüm eşitsizlikleri için genel cevap olacaktır (genellikle bu şekilde yazılır, çünkü örnek: "4 x + 1 > 2 ve 30 - x > 6… " eşitsizlik sistemini çözün.
Eşitsizlik sistemleri ve denklem sistemleri
Yeni bir konuyu öğrenme sürecinde genellikle yanlış anlamalar ortaya çıkar. Bir yandan, her şey açık ve görevleri çözmeye başlamayı tercih ederim, ancak diğer yandan bazı anlar "gölgede" kalıyor, iyi anlaşılmıyor. Ayrıca, önceden edinilmiş bilgilerin bazı unsurları yenileriyle iç içe geçebilir. Hatalar genellikle bu örtüşmenin bir sonucu olarak ortaya çıkar.
Bu nedenle, konumuzun analizine geçmeden önce, denklemler ve eşitsizlikler arasındaki farkları, sistemlerini hatırlamalıyız. Bunun için bu matematiksel kavramların ne olduğunu bir kez daha açıklamak gerekiyor. Bir denklem her zaman bir eşitliktir ve her zaman bir şeye eşittir (matematikte bu kelime "=" işaretiyle gösterilir). Eşitsizlik, bir değerin diğerinden daha büyük veya daha az olduğu veya bunların aynı olmadığı iddiasını içeren bir modeldir. Bu nedenle, ilk durumda eşitlikten bahsetmek uygundur ve ikinci durumda, kulağa ne kadar açık gelirse gelsin, eşitlikten bahsetmek uygundur.adın kendisi, ilk verilerin eşitsizliği hakkında. Denklem ve eşitsizlik sistemleri pratik olarak birbirinden farklı değildir ve çözüm yöntemleri aynıdır. Tek fark, ilkinin eşitlikleri kullanması, ikincisinin eşitsizlikleri kullanmasıdır.
Eşitsizlik türleri
İki tür eşitsizlik vardır: sayısal ve bilinmeyen değişkenli. İlk tür, birbirine eşit olmayan değerler (sayılar) sağlanır, örneğin, 8 > 10. İkinci tür, bilinmeyen bir değişken içeren eşitsizliklerdir (Latin alfabesinin bir harfiyle, çoğunlukla X ile gösterilir). Bu değişkenin bulunması gerekir. Kaç tane olduğuna bağlı olarak, matematiksel model bir eşitsizlikler (bir değişkenli bir eşitsizlikler sistemi oluştururlar) veya birkaç değişkenli (birkaç değişkenli bir eşitsizlikler sistemi oluştururlar) arasında ayrım yapar.
Son iki tür, yapılarının derecesine ve çözümün karmaşıklık düzeyine göre basit ve karmaşık olarak ayrılır. Basit olanlara doğrusal eşitsizlikler de denir. Sırayla, katı ve katı olmayan olarak ayrılırlar. Bir değerin daha az veya daha fazla olması gerektiğini kesin olarak "söyleyin", bu nedenle bu saf eşitsizliktir. Birkaç örnek var: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, vb. Katı olmayanlar da eşitliği içerir. Yani, bir değer başka bir değerden büyük veya ona eşit ("≧" işareti) veya başka bir değerden küçük veya ona eşit ("≦" işareti) olabilir. Hala sıradaEşitsizliklerde, değişken kökte durmaz, kare hiçbir şeye bölünemez, bu yüzden onlara "basit" denir. Karmaşık olanlar, bulunması daha fazla matematiksel işlem gerektiren bilinmeyen değişkenleri içerir. Genellikle kare, küp veya kök altında bulunurlar, modüler, logaritmik, kesirli vb. olabilirler. Ancak görevimiz eşitsizlik sistemlerinin çözümünü anlamak olduğundan, bir doğrusal eşitsizlikler sisteminden bahsedeceğiz. Ancak bundan önce, özellikleri hakkında birkaç söz söylenmelidir.
Eşitsizliklerin özellikleri
Eşitsizliklerin özellikleri aşağıdaki hükümleri içerir:
- Tarafların sırasını değiştirme işlemi uygulanırsa eşitsizlik işareti tersine çevrilir (örneğin, t1 ≦ t2 ise, ardından t 2 ≧ t1).
- Eşitsizliğin her iki kısmı da kendinize aynı sayıyı eklemenize izin verir (örneğin, eğer t1 ≦ t2, sonra t 1 + sayı ≦ t2 + sayı).
- Aynı yönün işaretine sahip iki veya daha fazla eşitsizlik, sol ve sağ kısımlarını eklemenize izin verir (örneğin, eğer t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, ardından t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Eşitsizliğin her iki parçası da aynı pozitif sayı ile çarpılmasına veya bölünmesine izin verir (örneğin, eğer t1 ≦ t2ve sayı ≦ 0, ardından sayı t1 ≧ sayı t2).
- Pozitif terimleri olan ve aynı yönün işareti olan iki veya daha fazla eşitsizlik,birbirinizle çarpın (örneğin, t1 ≦ t2, t3 ≦ tise 4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 sonra t1 t3 ≦ t2 t4).
- Eşitsizliğin her iki parçası da aynı negatif sayı ile çarpılmasına veya bölünmesine izin verir, ancak eşitsizlik işareti değişir (örneğin, eğer t1 ≦ t2 ve sayı ≦ 0, ardından sayı t1 ≧ sayı t2).
- Bütün eşitsizlikler geçişlidir (örneğin, eğer t1 ≦ t2 ve t2 ise≦ t3, ardından t1 ≦ t3).
Şimdi, eşitsizliklerle ilgili teorinin ana hükümlerini inceledikten sonra, sistemlerini çözmek için doğrudan kuralların değerlendirilmesine geçebiliriz.
Eşitsizlik sistemlerinin çözümü. Genel bilgi. Çözümler
Yukarıda belirtildiği gibi çözüm, verilen sistemin tüm eşitsizliklerine uyan değişkenin değerleridir. Eşitsizlik sistemlerinin çözümü, sonuçta tüm sistemin çözümüne yol açan veya hiçbir çözümü olmadığını kanıtlayan matematiksel işlemlerin uygulanmasıdır. Bu durumda, değişkenin boş sayı kümesine atıfta bulunduğu söylenir (şu şekilde yazılır: ∈ değişkenini gösteren harf ("ait" işareti) ø ("boş küme" işareti), örneğin, x ∈ ø (şöyle okunur: ""x" değişkeni boş kümeye aittir"). Eşitsizlik sistemlerini çözmenin birkaç yolu vardır:grafiksel, cebirsel, ikame yöntemi. Birkaç bilinmeyen değişkeni olan matematiksel modellere atıfta bulunduklarını belirtmekte fayda var. Yalnızca bir tane olması durumunda, boşluk bırakma yöntemi yapacaktır.
Grafik yöntemi
Birkaç bilinmeyenli (iki veya daha fazla) bir eşitsizlikler sistemini çözmenizi sağlar. Bu yöntem sayesinde lineer eşitsizlikler sistemi oldukça kolay ve hızlı bir şekilde çözülür, bu nedenle en yaygın yöntemdir. Bunun nedeni, çizimin matematiksel işlemlerin yazılma miktarını az altmasıdır. Kaleme biraz ara vermek, kalemi cetvelle almak ve çok fazla iş yapıldığında ve biraz çeşitlilik istediğinizde onların yardımıyla başka eylemlere devam etmek özellikle keyifli hale gelir. Bununla birlikte, bazıları görevden ayrılmanız ve zihinsel aktivitenizi çizime çevirmeniz gerektiğinden bu yöntemi sevmez. Ancak çok etkili bir yol.
Bir eşitsizlik sistemini grafiksel bir yöntemle çözmek için, her eşitsizliğin tüm üyelerini sol taraflarına aktarmak gerekir. İşaretler ters çevrilir, sağa sıfır yazılmalı, ardından her eşitsizlik ayrı ayrı yazılmalıdır. Sonuç olarak, eşitsizliklerden fonksiyonlar elde edilecektir. Bundan sonra bir kalem ve bir cetvel alabilirsiniz: şimdi elde edilen her fonksiyonun bir grafiğini çizmeniz gerekiyor. Kesişme aralıklarında olacak tüm sayılar kümesi, eşitsizlikler sisteminin çözümü olacaktır.
Cebirsel yol
İki bilinmeyen değişkenli bir eşitsizlik sistemini çözmenizi sağlar. Eşitsizlikler de aynı eşitsizlik işaretine sahip olmalıdır (yani, yalnızca "büyüktür" işaretini veya yalnızca "küçüktür" işaretini içermelidir, vb.) Sınırlamalarına rağmen, bu yöntem de daha karmaşıktır. İki adımda uygulanır.
İlki, bilinmeyen değişkenlerden birinden kurtulmayı içerir. Önce onu seçmeniz, ardından bu değişkenin önünde sayıların olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Hiçbiri yoksa (değişken tek bir harf gibi görünecektir), o zaman hiçbir şeyi değiştirmeyiz, varsa (değişkenin türü örneğin 5y veya 12y olacaktır), o zaman emin olmak gerekir her eşitsizlikte seçilen değişkenin önündeki sayı aynıdır. Bunu yapmak için, eşitsizliklerin her bir üyesini ortak bir faktörle çarpmanız gerekir, örneğin, ilk eşitsizlikte 3y ve ikincisinde 5y yazıyorsa, o zaman ilk eşitsizliğin tüm üyelerini 5 ile çarpmanız gerekir., ve ikincisi 3. Sırasıyla 15y ve 15y elde edersiniz.
Kararın ikinci aşaması. Her bir eşitsizliğin sol tarafını, her terimin işaretinin tersi yönde bir değişiklikle sağ taraflarına aktarmak, sağa sıfır yazmak gerekir. Sonra eğlenceli kısım geliyor: eşitsizlikleri toplarken seçilen değişkenden ("az altma" olarak da bilinir) kurtulmak. Çözülmesi gereken bir değişkenli bir eşitsizlik elde edeceksiniz. Bundan sonra, aynısını yalnızca başka bir bilinmeyen değişkenle yapmalısınız. Elde edilen sonuçlar sistemin çözümü olacaktır.
İkame yöntemi
Yeni bir değişken tanıtma fırsatınız olduğunda bir eşitsizlikler sistemini çözmenize olanak tanır. Genellikle bu yöntem, eşitsizliğin bir terimindeki bilinmeyen değişken dördüncü güce yükseltildiğinde ve diğer terimde karesi alındığında kullanılır. Böylece bu yöntem, sistemdeki eşitsizliklerin derecesini az altmayı amaçlamaktadır. Örnek eşitsizliği x4 - x2 - 1 ≦ 0 aşağıdaki gibi çözülür. Yeni bir değişken tanıtıldı, örneğin t. "Let t=x2" yazarlar, ardından model yeni bir biçimde yeniden yazılır. Bizim durumumuzda, t2 - t - 1 ≦0 elde ederiz. Bu eşitsizliğin interval yöntemiyle (biraz sonra) çözülmesi, ardından X değişkenine geri dönmeli, sonra aynısını başka bir eşitsizlikle yapmalısın. Alınan cevaplar sistemin kararı olacaktır.
Aralık yöntemi
Bu eşitsizlik sistemlerini çözmenin en kolay yoludur ve aynı zamanda evrensel ve yaygındır. Lisede ve hatta lisede kullanılır. Özü, öğrencinin bir deftere çizilen sayı doğrusu üzerinde eşitsizlik aralıkları araması gerçeğinde yatmaktadır (bu bir grafik değil, sadece sayılarla sıradan bir düz çizgidir). Eşitsizlik aralıklarının kesiştiği yerde sistemin çözümü bulunur. Aralık yöntemini kullanmak için şu adımları izleyin:
- Her eşitsizliğin tüm üyeleri sol tarafa işaret değişimi ile ters tarafa aktarılır (sıfır sağda yazılır).
- Eşitsizlikler ayrı yazılır, her birinin çözümü belirlenir.
- Sayısal olarak eşitsizliklerin kesişimleriDüz. Bu kavşaklardaki tüm sayılar çözüm olacaktır.
Hangi yolu kullanmalı?
Tabii ki en kolay ve kullanışlı görünen, ancak görevlerin belirli bir yöntem gerektirdiği zamanlar vardır. Çoğu zaman, bir grafik kullanarak veya aralık yöntemini kullanarak çözmeniz gerektiğini söylerler. Cebirsel yöntem ve ikame, oldukça karmaşık ve kafa karıştırıcı oldukları için çok nadiren kullanılır veya hiç kullanılmaz ve ayrıca eşitsizliklerden ziyade denklem sistemlerini çözmek için kullanılırlar, bu nedenle grafikler ve aralıklar çizmeye başvurmalısınız. Matematiksel işlemlerin verimli ve hızlı yürütülmesine katkıda bulunamayacak ancak katkıda bulunabilecek görünürlük sağlarlar.
Bir şey işe yaramazsa
Cebirde belirli bir konunun çalışılması sırasında elbette anlaşılmasında sorunlar olabilir. Ve bu normaldir, çünkü beynimiz karmaşık materyalleri tek seferde anlayamayacak şekilde tasarlanmıştır. Genellikle bir paragrafı yeniden okumanız, bir öğretmenden yardım almanız veya tipik problemleri çözme alıştırması yapmanız gerekir. Bizim durumumuzda, örneğin şöyle görünürler: "3 x + 1 ≧ 0 ve 2 x - 1 > 3 eşitsizlik sistemini çözün". Bu nedenle, kişisel çabalama, dışarıdan yardım alma ve uygulama, herhangi bir karmaşık konuyu anlamada yardımcı olur.
Reshebnik?
Ve çözüm kitabı da çok iyi ama ev ödevlerinde hile yapmak için değil, kendi kendine yardım için. Onlarda çözümü olan eşitsizlik sistemlerini bulabilirsin, bak(şablonlar gibi), çözümün yazarının görevle nasıl başa çıktığını tam olarak anlamaya çalışın ve ardından bunu kendi başına yapmaya çalışın.
Sonuçlar
Cebir okuldaki en zor derslerden biridir. Peki, ne yapabilirsin? Matematik her zaman böyle olmuştur: Bazıları için kolay gelir, diğerleri için zordur. Ancak her durumda, genel eğitim programının, herhangi bir öğrencinin onunla başa çıkabileceği şekilde tasarlandığı unutulmamalıdır. Ek olarak, çok sayıda asistanı aklınızda bulundurmanız gerekir. Bazılarından yukarıda bahsedilmiştir.
