Matematik Antik Çağ'dan gelir. Onun sayesinde mimarlık, inşaat ve askeri bilim yeni bir gelişme turu verdi, matematik yardımıyla elde edilen başarılar ilerleme hareketine yol açtı. Bu güne kadar matematik, diğer tüm dallarda bulunan ana bilim olmaya devam ediyor.
Eğitim almak için birinci sınıftan itibaren çocuklar yavaş yavaş bu ortama karışmaya başlarlar. Matematiği anlamak çok önemlidir, çünkü bir dereceye kadar hayatı boyunca her insanın başına gelir. Bu makale, temel unsurlardan birini - türevleri bulma ve uygulama - analiz edecektir. Herkes bu kavramın ne kadar yaygın kullanıldığını hayal edemez. Belirli alanlarda veya bilimlerde 10'dan fazla türev uygulamasını düşünün.
Bir fonksiyonun çalışmasına türevin uygulanması
Türev böyle bir limittirbir fonksiyonun artışının, argümanın üssü sıfır olma eğilimindeyken, argümanının artışına oranı. Türev, bir fonksiyonun incelenmesinde vazgeçilmez bir şeydir. Örneğin, sonuncusu, ekstrema, dışbükeylik ve içbükeyliğin artış ve azalışını belirlemek için kullanılabilir. Matematik üniversitelerinin 1. ve 2. sınıf öğrencileri için zorunlu müfredata diferansiyel hesap dahildir.
Kapsam ve fonksiyon sıfırları
Grafikle ilgili herhangi bir çalışmanın ilk aşaması, daha nadir durumlarda tanım alanını bulmakla başlar - değer. Tanım alanı apsis ekseni boyunca ayarlanır, diğer bir deyişle bunlar OX eksenindeki sayısal değerlerdir. Genellikle kapsam zaten ayarlanmıştır, ancak değilse, x argümanının değeri değerlendirilmelidir. Varsayalım ki, argümanın bazı değerleri için fonksiyon anlamlı değilse, o zaman bu argüman kapsamdan çıkarılır.
Fonksiyonun sıfırları basit bir şekilde bulunur: f(x) fonksiyonu sıfıra eşitlenmeli ve elde edilen denklem bir x değişkenine göre çözülmelidir. Denklemin elde edilen kökleri, fonksiyonun sıfırlarıdır, yani bu x'lerde fonksiyon 0'dır.
Artır ve az altır
Tekdüzelik için fonksiyonları incelemek için türevin kullanımı iki konumdan düşünülebilir. Monotonik bir fonksiyon, türevin yalnızca pozitif değerlerine veya yalnızca negatif değerlerine sahip bir kategoridir. Basit bir deyişle, fonksiyon incelenen tüm aralık boyunca yalnızca artar veya yalnızca azalır:
- Parametreyi artır. İşlevf`(x)'in türevi sıfırdan büyükse f(x) artacaktır.
- Azalan parametre. f`(x)'in türevi sıfırdan küçükse f(x) işlevi azalacaktır.
Teğet ve Eğim
Türevin bir fonksiyonun incelenmesine uygulanması, belirli bir noktada fonksiyonun grafiğine teğet (bir açıyla yönlendirilmiş düz çizgi) tarafından da belirlenir. Bir noktada tanjant (x0) - bir noktadan geçen ve koordinatları (x0, f(x) olan fonksiyona ait olan bir çizgi 0 )) ve eğimi f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - fonksiyonun grafiğinin verilen noktasına teğetin denklemi.
Türevin geometrik anlamı: f(x) fonksiyonunun türevi, verilen bir x noktasında bu fonksiyonun grafiğine oluşturulan teğetin eğimine eşittir. Açısal katsayı, sırayla, pozitif yönde teğetin OX eksenine (apsis) eğim açısının tanjantına eşittir. Bu sonuç, türevin bir fonksiyonun grafiğine uygulanması için esastır.
Aşırı noktalar
Bir çalışmaya türev uygulamak, yüksek ve düşük noktaları bulmayı içerir.
Minimum ve maksimum puanları bulmak ve belirlemek için yapmanız gerekenler:
- f(x) fonksiyonunun türevini bulun.
- Sonuçtaki denklemi sıfıra ayarlayın.
- Denklemin köklerini bulun.
- Yüksek ve düşük noktaları bulun.
En uç noktaları bulmak içinözellikler:
- Yukarıdaki yöntemi kullanarak minimum ve maksimum noktaları bulun.
- Bu noktaları orijinal denklemde yerine koyun ve ymax ve ymin
hesaplayın
Fonksiyonun maksimum noktası, f(x) fonksiyonunun aralıktaki en büyük değeridir, diğer bir deyişle xmaks.
Fonksiyonun minimum noktası, f(x) fonksiyonunun aralıktaki en küçük değeridir, diğer bir deyişle xname
Aşırı noktalar, maksimum ve minimum noktalarla aynıdır ve işlevin ekstremumu (ymaks. ve yminimum) - uç noktalara karşılık gelen fonksiyon değerleri.
Dışbükeylik ve içbükeylik
Çizim için türev kullanımına başvurarak dışbükeyliği ve içbükeyliği belirleyebilirsiniz:
- (a, b) aralığında incelenen f(x) fonksiyonu, fonksiyon bu aralık içinde tüm teğetlerinin altında bulunuyorsa içbükeydir.
- (a, b) aralığında çalışılan f(x) fonksiyonu, eğer fonksiyon bu aralığın içindeki tüm teğetlerinin üzerinde yer alıyorsa dışbükeydir.
Dışbükeyliği ve içbükeyliği ayıran noktaya, fonksiyonun bükülme noktası denir.
Bükülme noktalarını bulmak için:
- İkinci türden kritik noktaları bulun (ikinci türev).
- Büküm noktaları, iki zıt işareti ayıran kritik noktalardır.
- Fonksiyon bükülme noktalarında fonksiyon değerlerini hesaplayın.
Kısmi türevler
Uygulamabirden fazla bilinmeyen değişkenin kullanıldığı problemlerde bu tip türevler vardır. Çoğu zaman, bu tür türevlerle, bir fonksiyon grafiği çizilirken, daha kesin olmak gerekirse, iki eksen yerine üç, dolayısıyla üç niceliğin (iki değişken ve bir sabit) olduğu uzaydaki yüzeylerle karşılaşılır.
Kısmi türevleri hesaplarken temel kural, bir değişken seçip geri kalanını sabitler olarak ele almaktır. Bu nedenle, kısmi türev hesaplanırken sabit, sayısal bir değer gibi olur (birçok türev tablosunda C=const olarak gösterilirler). Böyle bir türevin anlamı, z=f(x, y) fonksiyonunun OX ve OY eksenleri boyunca değişim oranıdır, yani, inşa edilmiş yüzeyin çöküntülerinin ve çıkıntılarının dikliğini karakterize eder.
Fizikte türev
Türevin fizikte kullanımı yaygın ve önemlidir. Fiziksel anlam: Yolun zamana göre türevi hızdır ve ivme, hızın zamana göre türevidir. Fiziksel anlamdan birçok dal fiziğin çeşitli dallarına çekilebilirken türevin anlamı tamamen korunabilir.
Türev yardımı ile aşağıdaki değerler bulunur:
- Kinematikte kat edilen mesafenin türevinin hesaplandığı hız. Yolun ikinci türevi veya hızın birinci türevi bulunursa, cismin ivmesi bulunur. Ek olarak, bir malzeme noktasının anlık hızını bulmak mümkündür, ancak bunun için ∆t ve ∆r artışını bilmek gerekir.
- Elektrodinamikte: alternatif akımın anlık gücünün ve elektromanyetik indüksiyonun EMF'sinin hesaplanması. Türevi hesaplayarak maksimum gücü bulabilirsiniz. Elektrik yükü miktarının türevi iletkendeki akım kuvvetidir.
Kimya ve biyolojide türev
Kimya: Türev, bir kimyasal reaksiyonun hızını belirlemek için kullanılır. Türevin kimyasal anlamı: fonksiyon p=p(t), bu durumda p, t zamanında kimyasal reaksiyona giren bir maddenin miktarıdır. ∆t - zaman artışı, ∆p - madde miktarı artışı. ∆t'nin sıfıra eğilim gösterdiği ∆p'nin ∆t'ye oranının sınırına kimyasal reaksiyon hızı denir. Bir kimyasal reaksiyonun ortalama değeri, ∆p/∆t oranıdır. Hızı belirlerken, maddenin ve akış ortamının toplam durumunu bilmek için gerekli tüm parametreleri, koşulları tam olarak bilmek gerekir. Bu, çeşitli endüstrilerde ve insan faaliyetlerinde yaygın olarak kullanılan kimyada oldukça büyük bir boyuttur.
Biyoloji: Ortalama üreme oranını hesaplamak için türev kavramı kullanılır. Biyolojik anlamı: y=x(t) fonksiyonumuz var. ∆t - zaman artışı. Daha sonra, bazı dönüşümlerin yardımıyla, y`=P(t)=x`(t) - t zaman popülasyonunun hayati aktivitesi (ortalama üreme hızı) fonksiyonunu elde ederiz. Türevin bu kullanımı, istatistikleri tutmanıza, yeniden üretim oranını izlemenize vb. olanak tanır.
Coğrafya ve ekonomide türev
Türev, coğrafyacıların karar vermesine olanak tanırnüfus bulma, sismografide değerlerin hesaplanması, nükleer jeofizik göstergelerin radyoaktivitesinin hesaplanması, enterpolasyonun hesaplanması gibi görevler.
Ekonomide, hesaplamaların önemli bir kısmı diferansiyel hesap ve türevin hesaplanmasıdır. Her şeyden önce bu, gerekli ekonomik değerlerin sınırlarını belirlememizi sağlar. Örneğin, en yüksek ve en düşük işgücü verimliliği, maliyetler, karlar. Temel olarak bu değerler fonksiyon grafiklerinden hesaplanır, burada ekstremum bulunur, istenilen alandaki fonksiyonun monotonluğunu belirler.
Sonuç
Makalede belirtildiği gibi, bu diferansiyel hesabın rolü çeşitli bilimsel yapılarla ilgilidir. Türev fonksiyonların kullanımı, bilimin ve üretimin pratik kısmında önemli bir unsurdur. Lisede ve üniversitede karmaşık grafikler oluşturmamız, işlevleri keşfetmemiz ve üzerinde çalışmamız boşuna değil. Gördüğünüz gibi, türevler ve diferansiyel hesaplamalar olmadan hayati göstergeleri ve miktarları hesaplamak imkansız olurdu. İnsanoğlu, karmaşık matematiksel problemleri çözmek için çeşitli süreçleri modellemeyi ve keşfetmeyi öğrendi. Aslında matematik tüm bilimlerin kraliçesidir, çünkü bu bilim diğer tüm doğal ve teknik disiplinlerin temelini oluşturur.
