Grafik çizmeyi, bir koordinat doğrusu üzerinde eşitsizlikleri çizmeyi ve koordinat eksenleriyle çalışmayı bilmiyorsanız matematik bildiğinizi iddia etmek imkansızdır. Bilimde görsel bileşen çok önemlidir, çünkü formüllerde ve hesaplamalarda görsel örnekler olmadan bazen kafanız çok karışabilir. Bu yazıda koordinat eksenleri ile nasıl çalışılacağını göreceğiz ve basit fonksiyon grafiklerinin nasıl oluşturulacağını öğreneceğiz.
Uygulama
Koordinat çizgisi, bir öğrencinin eğitim yolunda karşılaştığı en basit grafik türlerinin temelidir. Hemen hemen her matematiksel konuda kullanılır: hız ve zamanı hesaplarken, nesnelerin boyutunu tahmin ederken ve alanlarını hesaplarken, trigonometride sinüs ve kosinüslerle çalışırken.
Böyle bir doğrudan hattın ana değeri görünürlüktür. Matematik, yüksek düzeyde soyut düşünme gerektiren bir bilim olduğundan, grafikler bir nesneyi gerçek dünyada temsil etmeye yardımcı olur. Nasıl davranır? uzayda hangi noktada olacakbirkaç saniye, dakika, saat? Diğer nesnelerle karşılaştırıldığında onun hakkında ne söylenebilir? Rastgele seçilmiş bir zamanda hızı nedir? Hareketi nasıl karakterize edilir?
Ve hızdan bahsetmemizin bir nedeni var - hız genellikle fonksiyon grafikleriyle gösterilir. Ayrıca nesnenin içindeki sıcaklık veya basınçtaki değişiklikleri, boyutunu, ufka göre yönelimini de görüntüleyebilirler. Bu nedenle, fizikte de genellikle bir koordinat çizgisi oluşturmak gerekir.
Tek boyutlu grafik
Çok boyutluluk kavramı var. Tek boyutlu uzayda, bir noktanın yerini belirlemek için sadece bir sayı yeterlidir. Koordinat çizgisinin kullanımında durum tam olarak budur. Uzay iki boyutlu ise, o zaman iki sayı gereklidir. Bu tür grafikler çok daha sık kullanılmaktadır ve onları makalenin biraz ilerleyen bölümlerinde kesinlikle ele alacağız.
Tek eksen varsa, eksen üzerindeki noktalar yardımıyla ne görülebilir? Nesnenin boyutunu, uzaydaki konumunu bir "sıfır"a göre görebilirsiniz, yani referans noktası olarak seçilen nokta.
Tüm okumalar belirli bir an için görüntüleneceğinden, zaman içinde parametre değişikliği görünmeyecektir. Ancak, bir yerden başlamak zorundasınız! O halde başlayalım.
Koordinat ekseni nasıl oluşturulur
Önce yatay bir çizgi çizmeniz gerekiyor - bu bizim eksenimiz olacak. Sağ tarafta, bir ok gibi görünecek şekilde "keskinleştirin". Böylece sayıların hangi yönde olacağını belirteceğiz.artırmak. Aşağı yönde ok genellikle yerleştirilmez. Geleneksel olarak eksen sağı gösterir, bu yüzden bu kuralı uygulayacağız.
Koordinatların kökenini gösterecek bir sıfır işareti belirleyelim. Boyut, ağırlık, hız veya başka herhangi bir şey olsun, geri sayımın yapıldığı yer burasıdır. Sıfıra ek olarak, mutlaka sözde bölünme fiyatını belirlemeliyiz, yani belirli miktarları eksende çizeceğimize göre bir birim standardı getirmeliyiz. Koordinat doğrusu üzerinde doğru parçasının uzunluğunu bulabilmek için bu yapılmalıdır.
Birbirinden eşit mesafede, çizgiye noktalar veya "çentikler" koyun ve bunların altına sırasıyla 1, 2, 3 yazın, vb. Ve şimdi, her şey hazır. Ancak ortaya çıkan programla, yine de nasıl çalışacağınızı öğrenmeniz gerekiyor.
Koordinat doğrusu üzerindeki nokta türleri
Ders kitaplarında önerilen çizimlere ilk bakışta, açıkça ortaya çıkıyor: eksen üzerindeki noktalar doldurulabilir veya doldurulmayabilir. Sizce tesadüf mü? Hiç de bile! Katı olmayan bir eşitsizlik için "dolu" bir nokta kullanılır - "büyük veya eşittir" olarak okunan bir eşitsizlik. Aralığı kesinlikle sınırlamamız gerekirse (örneğin, "x" sıfırdan bire değerler alabilir, ancak bunu içermez), "içi boş" bir nokta, yani aslında küçük bir daire kullanacağız. eksen üzerinde. Öğrencilerin katı eşitsizliklerden pek hoşlanmadıklarına dikkat edilmelidir, çünkü bunlarla çalışmak daha zordur.
Hangi noktalara bağlı olduğuna bağlı olarakgrafikte kullanın, yerleşik aralıklar da çağrılır. Her iki taraftaki eşitsizlik katı değilse, o zaman bir segment elde ederiz. Bir yandan “açık” olduğu ortaya çıkarsa, buna yarım aralık denir. Son olarak, bir doğrunun bir kısmı her iki tarafından içi boş noktalarla sınırlandırılmışsa, buna aralık denir.
Uçak
Koordinat düzleminde iki düz çizgi oluştururken, fonksiyonların grafiklerini zaten düşünebiliriz. Diyelim ki yatay çizgi zaman ekseni ve dikey çizgi mesafe. Ve şimdi nesnenin bir dakikalık veya bir saatlik yolculukta hangi mesafeyi aşacağını belirleyebiliyoruz. Böylece bir düzlemle çalışmak, bir nesnenin durumundaki değişikliği izlemeyi mümkün kılar. Bu, statik bir durumu keşfetmekten çok daha ilginç.
Böyle bir düzlemdeki en basit grafik düz bir çizgidir, Y(X)=aX + b fonksiyonunu yansıtır. Çizgi bükülür mü? Bu, çalışma sırasında nesnenin özelliklerini değiştirdiği anlamına gelir.
Uzattığınız elinizde bir taş tutan bir binanın çatısında durduğunuzu hayal edin. Bıraktığınızda, hareketine sıfır hızdan başlayarak aşağı uçacaktır. Ancak bir saniyede saatte 36 kilometreyi aşacak. Taş daha da hızlanmaya devam edecek ve hareketini çizelgeye çizebilmek için eksen üzerinde uygun yerlere noktalar koyarak hızını zaman içinde birkaç noktada ölçmeniz gerekecek.
Yatay koordinat satırındaki işaretler varsayılan olarak X1, X2, X3 ve dikey - Y1, Y2, Y3 olarak adlandırılır. projeksiyononları düzleme ve kesişme noktalarına bularak, ortaya çıkan desenin parçalarını buluyoruz. Onları bir çizgiyle bağlayarak, fonksiyonun bir grafiğini elde ederiz. Düşen bir taş durumunda, ikinci dereceden fonksiyon şöyle görünecektir: Y(X)=aXX + bX + c.
Ölçek
Tabii ki tamsayı değerlerini bölmelerin yanına düz bir çizgi ile koymak gerekli değildir. Dakikada 0,03 metre hızla sürünen bir salyangozun hareketini düşünüyorsanız koordinat fraksiyonunda değerler olarak ayarlayın. Bu durumda, ölçek aralığını 0,01 metreye ayarlayın.
Bu tür çizimleri bir kafeste bir defterde yapmak özellikle uygundur - burada, marjların ötesine geçerseniz, sayfada grafiğiniz için yeterli alan olup olmadığını hemen görebilirsiniz. Gücünüzü hesaplamak zor değil, çünkü böyle bir defterdeki hücrenin genişliği 0,5 santimetredir. Aldı - resmi az alttı. Grafiğin ölçeğindeki değişiklikler, özelliklerini kaybetmesine veya değiştirmesine neden olmaz.
Nokta ve parça koordinatları
Bir derste bir matematik problemi verildiğinde, hem kenar uzunlukları, çevre, alan ve hem de koordinatlar şeklinde çeşitli geometrik şekillerin parametrelerini içerebilir. Bu durumda, hem bir şekil oluşturmanız hem de onunla ilişkili bazı verileri almanız gerekebilir. Soru ortaya çıkıyor: koordinat çizgisinde gerekli bilgiler nasıl bulunur? Ve bir şekil nasıl oluşturulur?
Örneğin, bir noktadan bahsediyoruz. Ardından, sorunun durumunda bir büyük harf görünecek ve parantez içinde, çoğu zaman iki olmak üzere birkaç sayı görünecektir (bu, iki boyutlu uzayda sayacağımız anlamına gelir). Parantez içinde noktalı virgül veya virgülle ayrılmış üç sayı varsa, bu üç boyutlu bir alandır. Değerlerin her biri karşılık gelen eksende bir koordinattır: önce yatay (X), ardından dikey (Y).
Nasıl segment çizileceğini hatırlıyor musunuz? Geometriye geçtin. İki nokta varsa, aralarında bir çizgi çizilebilir. Problemde bir segment görünüyorsa, koordinatları parantez içinde gösterilir. Örneğin: A(15, 13) - B(1, 4). Böyle bir çizgi oluşturmak için koordinat düzleminde noktaları bulup işaretlemeniz ve ardından bunları birleştirmeniz gerekir. İşte bu!
Ve bildiğiniz gibi herhangi bir çokgen parçalar kullanılarak çizilebilir. Sorun çözüldü.
Hesaplamalar
Diyelim ki X ekseni boyunca konumu iki sayı ile karakterize edilen bir nesne var: (-3) koordinatıyla başlayan ve (+2) ile biten bir nokta. Bu cismin uzunluğunu bilmek istiyorsak, büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarmalıyız. Negatif bir sayının çıkarmanın işaretini soğurduğuna dikkat edin, çünkü "eksi çarpı bir eksi artıya eşittir." Yani (2+3) ekleyip 5 elde ederiz. Bu gerekli sonuçtur.
Başka bir örnek: bize nesnenin bitiş noktası ve uzunluğu verilir, ancak başlangıç noktası verilmez (ve onu bulmamız gerekir). Bilinen noktanın konumu (6) ve incelenen nesnenin boyutu (4) olsun. Uzunluğu son koordinattan çıkararak cevabı alırız. Toplam: (6 - 4)=2.
Negatif sayılar
Pratikte genellikle negatif değerlerle çalışmak gerekir. Bu durumda bizkoordinat ekseni boyunca sola hareket ettirin. Örneğin, 3 cm yüksekliğindeki bir nesne suda yüzer. Üçte biri sıvıya daldırılır, üçte ikisi havadadır. Ardından, eksen olarak su yüzeyini seçerek, en basit aritmetik hesaplamaları kullanarak iki sayı elde ederiz: nesnenin üst noktası (+2) koordinatına ve alt noktası - (-1) santimetreye sahiptir.
Bir düzlemde koordinat çizgisinin dörtte dördüne sahip olduğumuzu görmek kolaydır. Her birinin kendi numarası vardır. İlk (sağ üst) kısımda iki pozitif koordinata sahip noktalar olacak, ikincisinde - sol üstte - X ekseninin değerleri negatif ve Y ekseni boyunca - pozitif olacak. Üçüncü ve dördüncü saat yönünün tersine sayılır.
Önemli özellik
Bir doğrunun sonsuz sayıda nokta olarak temsil edilebileceğini biliyorsunuz. Eksenin her yönünde istediğimiz sayıda değeri istediğimiz kadar dikkatli görebiliriz, ancak tekrar edenlerle karşılaşmayacağız. Naif ve anlaşılır görünüyor, ancak bu ifade önemli bir gerçekten kaynaklanıyor: her sayı koordinat doğrusu üzerinde bir ve yalnızca bir noktaya karşılık geliyor.
Sonuç
Tüm eksenlerin, şekillerin ve mümkünse grafiklerin bir cetvel üzerine kurulması gerektiğini unutmayın. Ölçü birimleri insan tarafından tesadüfen icat edilmedi - çizerken hata yaparsanız, olması gerekenden farklı bir görüntü görme riskiyle karşı karşıya kalırsınız.
Çizim ve hesaplamalarda dikkatli ve doğru olun. Okulda öğrenilen herhangi bir bilim gibi matematik de doğruluğu sever. Biraz çaba sarf et ve iyideğerlendirmelerin gelmesi uzun sürmeyecek.
