İkinci dereceden bir denklemin özelliklerini incelerken, bir kısıtlama belirlendi - sıfırdan küçük bir diskriminant için çözüm yok. Hemen bir dizi gerçek sayıdan bahsettiğimiz şart koşuldu. Bir matematikçinin meraklı zihni ilgilenecektir - gerçek değerlerle ilgili maddede yer alan sır nedir?
Zamanla matematikçiler, eksi birin ikinci kökünün koşullu değerinin bir birim olarak alındığı karmaşık sayılar kavramını tanıttı.
Tarihsel arka plan
Matematiksel teori, basitten karmaşığa doğru sırayla gelişir. Gelin "karmaşık sayı" kavramının nasıl ortaya çıktığını ve neden gerekli olduğunu anlayalım.
Ezelden beri matematiğin temeli alışılmış hesaptı. Araştırmacılar yalnızca doğal değerler kümesini biliyorlardı. Toplama ve çıkarma işlemleri basitti. Ekonomik ilişkiler daha karmaşık hale geldikçe, aynı değerleri toplamak yerine çarpma işlemi kullanılmaya başlandı. ters işlem varçarpma - bölme.
Doğal sayı kavramı, aritmetik işlemlerin kullanımını sınırladı. Tamsayı değerleri kümesinde tüm bölme problemlerini çözmek imkansızdır. Kesirlerle çalışmak önce rasyonel değerler kavramına, ardından irrasyonel değerlere yol açtı. Rasyonel için noktanın doğru üzerindeki tam yerini belirtmek mümkünse, irrasyonel için böyle bir noktayı belirtmek imkansızdır. Sadece aralığı tahmin edebilirsiniz. Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi, belirli bir ölçekle belirli bir çizgi olarak temsil edilebilecek gerçek bir küme oluşturdu. Doğru boyunca her adım bir doğal sayıdır ve aralarında rasyonel ve irrasyonel değerler vardır.
Teorik matematik çağı başladı. Astronomi, mekanik ve fiziğin gelişimi, giderek daha karmaşık denklemlerin çözümünü gerektiriyordu. Genel olarak, ikinci dereceden denklemin kökleri bulundu. Bilim adamları daha karmaşık bir kübik polinomu çözerken bir çelişkiyle karşılaştılar. Negatiften küp kökü kavramı mantıklıdır, ancak karekök için belirsizlik elde edilir. Ayrıca, ikinci dereceden denklem kübik denklemin yalnızca özel bir halidir.
1545'te İtalyan J. Cardano, hayali bir sayı kavramını tanıtmayı önerdi.
Bu sayı, eksi birin ikinci köküdür. Karmaşık sayı terimi nihayet sadece üç yüz yıl sonra ünlü matematikçi Gauss'un eserlerinde oluşturuldu. Cebirin tüm yasalarını resmi olarak hayali sayıya genişletmeyi önerdi. Gerçek hat uzatıldıyüzeyleri. Dünya daha büyük.
Temel kavramlar
Gerçek kümede kısıtlamaları olan bir dizi işlevi hatırlayın:
- y=arcsin(x), negatif ve pozitif arasında tanımlanır 1.
- y=ln(x), ondalık logaritma pozitif argümanlarla anlamlıdır.
- kare y=√x, yalnızca x ≧ 0 için hesaplanır.
i=√(-1) ifade ederek, böyle bir kavramı hayali bir sayı olarak tanıtıyoruz, bu, yukarıdaki fonksiyonların tanım alanından tüm kısıtlamaları kaldıracaktır. y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) gibi ifadeler bazı karmaşık sayılar uzayında anlamlıdır.
Cebirsel form, gerçek x ve y değerleri kümesinde z=x + i×y ifadesi olarak yazılabilir ve i2 =-1.
Yeni konsept, herhangi bir cebirsel fonksiyonun kullanımıyla ilgili tüm kısıtlamaları ortadan kaldırır ve gerçek ve sanal değerlerin koordinatlarında düz bir çizgi grafiğine benzer.
Karmaşık düzlem
Karmaşık sayıların geometrik biçimi görsel olarak onların birçok özelliğini temsil etmemize olanak tanır. Re(z) ekseninde gerçek x değerlerini, Im(z)'de - y'nin sanal değerlerini işaretliyoruz, ardından düzlemdeki z noktası gerekli karmaşık değeri gösterecektir.
Tanımlar:
- Re(z) - gerçek eksen.
- Im(z) - hayali eksen anlamına gelir.
- z - karmaşık bir sayının koşullu noktası.
- Sıfırdan z'ye vektörün uzunluğunun sayısal değerine denirmodül.
- Gerçek ve hayali eksenler düzlemi dörde böler. Koordinatların pozitif değeri ile - Ben çeyrek. Gerçek eksenin argümanı 0'dan küçük olduğunda ve hayali eksen 0'dan büyük olduğunda - II çeyrek. Koordinatlar negatif olduğunda - III çeyrek. Son, dördüncü çeyrek birçok pozitif reel değer ve negatif hayali değer içerir.
Böylece, x ve y koordinat değerlerine sahip bir düzlemde, karmaşık bir sayının bir noktası her zaman görselleştirilebilir. i karakteri, gerçek kısmı hayali olandan ayırmak için tanıtıldı.
Özellikler
- Hayali argümanın değeri sıfır olduğunda, sadece gerçek eksende bulunan ve gerçek kümeye ait olan bir sayı (z=x) elde ederiz.
- Gerçek argümanın değeri sıfır olduğunda özel durum, z=i×y ifadesi noktanın sanal eksen üzerindeki konumuna karşılık gelir.
- z=x + i×y'nin genel formu, argümanların sıfır olmayan değerleri için olacaktır. Çeyreklerden birinde karmaşık sayıyı karakterize eden noktanın konumunu gösterir.
Trigonometrik gösterim
Kutupsal koordinat sistemini ve sin ve cos trigonometrik fonksiyonlarının tanımını hatırlayın. Bu fonksiyonların yardımıyla düzlemdeki herhangi bir noktanın konumunu tanımlamanın mümkün olduğu açıktır. Bunun için kutup ışınının uzunluğunu ve gerçek eksene olan eğim açısını bilmek yeterlidir.
Tanım. Trigonometrik fonksiyonlar cos(ϴ) ve sanal kısım i ×sin(ϴ) ile çarpılan ∣z ∣ formundaki bir girişe trigonometrik karmaşık sayı denir. Burada gösterim, gerçek eksene olan eğim açısıdır
ϴ=arg(z) ve r=∣z∣, ışın uzunluğu.
Trigonometrik fonksiyonların tanımından ve özelliklerinden çok önemli bir Moivre formülü aşağıdaki gibidir:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × günah(n × ϴ)).
Bu formülü kullanarak, trigonometrik fonksiyonlar içeren birçok denklem sistemini çözmek uygundur. Özellikle bir güce yükselme sorunu ortaya çıktığında.
Modül ve faz
Karmaşık bir kümenin açıklamasını tamamlamak için iki önemli tanım öneriyoruz.
Pisagor teoremini bilerek, kutupsal koordinat sisteminde ışının uzunluğunu hesaplamak kolaydır.
r=∣z∣=√(x2 + y2), karmaşık bir uzayda böyle bir gösterime " modül" ve 0'dan düzlemdeki bir noktaya olan mesafeyi karakterize eder.
Karmaşık kirişin gerçek çizgiye ϴ eğim açısına genellikle faz denir.
Tanım, reel ve sanal parçaların döngüsel fonksiyonlar kullanılarak tanımlandığını gösterir. Yani:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × günah(ϴ);
Tersine, faz aşağıdaki formül aracılığıyla cebirsel değerlerle ilgilidir:
ϴ=arctan(x / y) + µ, geometrik fonksiyonların periyodikliğini hesaba katmak için düzeltme µ tanıtıldı.
Euler formülü
Matematikçiler genellikle üstel formu kullanır. Karmaşık düzlem sayıları ifadeler olarak yazılır
Euler formülünden çıkan
z=r × ei×ϴ.
Bu kayıt, fiziksel niceliklerin pratik hesaplanması için yaygın olarak kullanılır. Formdaki sunum şekliüssel karmaşık sayılar, sinüzoidal akımlarla devreleri hesaplamanın gerekli olduğu ve belirli bir periyoda sahip fonksiyonların integrallerinin değerinin bilinmesinin gerekli olduğu mühendislik hesaplamaları için özellikle uygundur. Hesaplamaların kendisi, çeşitli makine ve mekanizmaların tasarımında bir araç görevi görür.
İşlemleri tanımlayın
Daha önce belirtildiği gibi, temel matematiksel işlevlerle çalışmanın tüm cebirsel yasaları karmaşık sayılar için geçerlidir.
Toplam işlemi
Karmaşık değerler eklenirken gerçek ve sanal kısımları da eklenir.
z=z1 + z2 burada z1 ve z2 - genel karmaşık sayılar. İfadeyi dönüştürdükten sonra, parantezleri açıp gösterimi sadeleştirdikten sonra, x=(x1 + x2) gerçek argümanını, sanal argüman y'yi elde ederiz.=(y 1 + y2).
Grafikte, iyi bilinen paralelkenar kuralına göre iki vektörün toplanması gibi görünüyor.
Çıkarma işlemi
Toplama işleminin özel bir durumu olarak düşünüldüğünde, bir sayı pozitifken diğeri negatiftir, yani ayna çeyreğinde bulunur. Cebirsel gösterim, gerçek ve hayali parçalar arasındaki farka benziyor.
z=z1 - z2 veya argümanların değerlerini dikkate alarak, toplamaya benzer şekilde işleminde x=(x1 - x2) ve sanal y=(y1) için gerçek değerleri elde ederiz. - y2).
Karmaşık düzlemde çarpma
Polinomlarla çalışma kurallarını kullanarak formülü türetiyoruzkarmaşık sayıları çözmek için.
Genel cebirsel kurallara uyarak z=z1×z2, her bir argümanı açıklayın ve benzerlerini listeleyin. Gerçek ve hayali kısımlar şu şekilde yazılabilir:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Üslü karmaşık sayılar kullanırsak daha güzel görünür.
İfade şuna benzer: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Daha basit olarak, modüller çoğ altılır ve fazlar eklenir.
Bölüm
Bölme işlemini çarpmanın tersi olarak düşünürsek, üstel gösterimde basit bir ifade elde ederiz. z1 değerini z2 ile bölmek, modüllerini ve faz farkını bölmenin sonucudur. Resmi olarak, karmaşık sayıların üstel formunu kullanırken şöyle görünür:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Cebirsel gösterim şeklinde, karmaşık düzlemin sayılarını bölme işlemi biraz daha karmaşık yazılmıştır:
z=z1 / z2.
Argümanları tanımlamak ve polinom dönüşümlerini gerçekleştirmek, değerleri almak kolaydırx=x1 × x2 + y1 × y2, sırasıyla y=x2 × y1 - x1 × y2 , ancak açıklanan alan içinde, z2 ≠ 0.
ise bu ifade anlamlıdır.
Kökü çıkarın
Yukarıdakilerin tümü, daha karmaşık cebirsel işlevler tanımlanırken - herhangi bir güce yükselterek ve tersini yaparak - kökün çıkarılması sırasında uygulanabilir.
N kuvvetine yükseltme genel kavramını kullanarak, şu tanımı elde ederiz:
zn =(r × eiϴ).
Ortak özellikleri kullanarak şu şekilde yeniden yazın:
zn =rn × eiϴ.
Karmaşık bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek için basit bir formülümüz var.
Derecenin tanımından çok önemli bir sonuç elde ederiz. Hayali birimin çift kuvveti her zaman 1'dir. Hayali birimin herhangi bir tek kuvveti her zaman -1'dir.
Şimdi ters fonksiyonu inceleyelim - kökün çıkarılması.
Gösterimi kolaylaştırmak için n=2 alalım. C karmaşık düzlemindeki z karmaşık değerinin w karekökü, z=± ifadesi olarak kabul edilir, bundan büyük veya ona eşit herhangi bir gerçek argüman için geçerlidir. sıfır. w ≦ 0 için çözüm yok.
En basit ikinci dereceden denkleme bakalım z2 =1. Karmaşık sayı formüllerini kullanarak r2 × e'yi yeniden yazıni2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Kayıttan r2 =1 ve ϴ=0 olduğu görülebilir, bu nedenle 1'e eşit benzersiz bir çözümümüz var. Ancak bu, z=-1'in karekök tanımına da uyduğu fikriyle çelişir.
Neleri dikkate almadığımızı bulalım. Trigonometrik gösterimi hatırlarsak, ifadeyi geri yükleriz - ϴ fazındaki periyodik bir değişiklikle karmaşık sayı değişmez. p noktanın değerini göstersin, o zaman r2 × ei2ϴ =ei(0+p), nereden 2ϴ=0 + p veya ϴ=p / 2. Bu nedenle, ei0 =1 ve eip/2 =-1. Karekökün genel anlayışına karşılık gelen ikinci çözümü elde ettik.
Yani, karmaşık bir sayının rastgele bir kökünü bulmak için prosedürü izleyeceğiz.
- Üssel formu yazın w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k keyfi bir tamsayıdır.
- İstenen sayı Euler biçiminde de gösterilir z=r × eiϴ.
- Kök çıkarma işlevinin genel tanımını kullanın r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Modüllerin ve argümanların eşitliğinin genel özelliklerinden, rn =∣w∣ ve nϴ=arg (w) + p×k. yazıyoruz.
- Karmaşık bir sayının kökünün son kaydı z=√∣w∣ × ei () formülüyle tanımlanır arg (w) + pk ) / .
- Not. ∣w∣ değeri, tanım gereği,pozitif bir gerçek sayıdır, bu nedenle herhangi bir derecenin kökü anlamlıdır.
Alan ve çekim
Sonuç olarak, karmaşık sayılarla uygulamalı problemleri çözmek için çok az önemi olan, ancak matematiksel teorinin daha da geliştirilmesi için gerekli olan iki önemli tanım veriyoruz.
Toplama ve çarpma ifadelerinin, eğer karmaşık düzlemin herhangi bir elemanı için aksiyomları karşılıyorlarsa bir alan oluşturdukları söylenir z:
- Karmaşık toplam, karmaşık terimlerin yerlerini değiştirmekten değişmez.
- İfade doğrudur - karmaşık bir ifadede, iki sayının herhangi bir toplamı değerleriyle değiştirilebilir.
- z + 0=0 + z=z'nin doğru olduğu nötr bir 0 değeri vardır.
- Herhangi bir z için bir zıt - z vardır ve buna ek olarak sıfır verir.
- Karmaşık faktörlerin yerlerini değiştirirken, karmaşık çarpım değişmez.
- Herhangi iki sayının çarpımı, değerleriyle değiştirilebilir.
- Çarpmanın karmaşık sayıyı değiştirmediği bir nötr değer 1 vardır.
- Her z ≠ 0 için, 1 ile çarpan z-1'nin bir tersi vardır.
- İki sayının toplamını üçte bir ile çarpmak, her birini bu sayı ile çarpma ve sonuçları toplama işlemine eşdeğerdir.
- 0 ≠ 1.
z1 =x + i×y ve z2 =x - i×y sayılarına eşlenik denir.
Teorem. Konjugasyon için ifade doğrudur:
- Toplamın konjugasyonu, konjuge elemanların toplamına eşittir.
- Ürünün eşleniğiçekimlerin ürünü.
- Konjugasyonun çekimi sayının kendisine eşittir.
Genel cebirde, bu tür özelliklere alan otomorfizmi denir.
Örnekler
Karmaşık sayıların verilen kural ve formüllerini takip ederek bunlarla kolayca işlem yapabilirsiniz.
En basit örnekleri ele alalım.
Problem 1. 3y +5 x i=15 - 7i denklemini kullanarak x ve y'yi belirleyin.
Karar. Karmaşık eşitliklerin tanımını hatırlayın, ardından 3y=15, 5x=-7. Bu nedenle, x=-7 / 5, y=5.
Task 2. 2 + i28 ve 1 + i135 değerlerini hesaplayın.
Karar. Açıktır ki 28, sahip olduğumuz i28 =1 kuvvetindeki karmaşık bir sayının tanımının sonucundan bir çift sayıdır, bu da 2 + i ifadesinin olduğu anlamına gelir. 28 =3. İkinci değer, i135 =-1, ardından 1 + i135 =0.
Görev 3. 2 + 5i ve 4 + 3i değerlerinin çarpımını hesaplayın.
Karar. Karmaşık sayıların çarpımının genel özelliklerinden (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) elde ederiz. Yeni değer -7 + 26i olacaktır.
Görev 4. z3 =-i.
denkleminin köklerini hesaplayın
Karar. Karmaşık bir sayı bulmanın birkaç yolu vardır. Mümkün olanlardan birini düşünelim. Tanım olarak, ∣ - i∣=1, -i için faz -p / 4'tür. Orijinal denklem r3ei olarak yeniden yazılabilir.3ϴ =e-p/4+pk, burada z=e-p / 12 + pk/3, herhangi bir k. tamsayı için
Çözüm kümesi (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Karmaşık sayılara neden ihtiyacımız var
Tarih, bir teori üzerinde çalışan bilim adamlarının, sonuçlarının pratik uygulamasını düşünmedikleri pek çok örnek bilir. Matematik, her şeyden önce, bir akıl oyunudur, sebep-sonuç ilişkilerine sıkı sıkıya bağlılıktır. Hemen hemen tüm matematiksel yapılar, integral ve diferansiyel denklemleri çözmeye indirgenir ve bunlar da, bazı yaklaşımlarla, polinomların köklerinin bulunmasıyla çözülür. Burada ilk önce hayali sayılar paradoksu ile karşılaşıyoruz.
Bilim adamları doğa bilimciler, tamamen pratik problemleri çözerek, çeşitli denklemlerin çözümlerine başvurarak matematiksel paradoksları keşfederler. Bu paradoksların yorumlanması kesinlikle şaşırtıcı keşiflere yol açar. Elektromanyetik dalgaların ikili doğası böyle bir örnektir. Karmaşık sayılar, özelliklerini anlamada çok önemli bir rol oynar.
Bu da optik, radyo elektroniği, enerji ve diğer birçok teknolojik alanda pratik uygulama bulmuştur. Başka bir örnek, fiziksel olayları anlamak çok daha zor. Antimadde bir kalemin ucunda tahmin edildi. Ve sadece yıllar sonra, onu fiziksel olarak sentezleme girişimleri başlar.
Sadece fizikte böyle durumlar olduğunu düşünmeyin. Yapay zeka çalışması sırasında vahşi yaşamda, makromoleküllerin sentezinde daha az ilginç keşifler yapılmaz. Ve hepsi sayesindebilincimizin genişlemesi, doğal değerlerin basit toplama ve çıkarma işlemlerinden uzaklaşmak.
