Pisagor teoremi: hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Her öğrenci hipotenüsün karesinin her zaman her birinin karesi olan bacakların toplamına eşit olduğunu bilir. Bu ifadeye Pisagor teoremi denir. Genel olarak trigonometri ve matematikteki en ünlü teoremlerden biridir. Daha detaylı düşünün.

Dik üçgen kavramı

Hipotenüsün karesinin karesi alınan bacakların toplamına eşit olduğu Pisagor teoremini ele almadan önce, teoremin sağlandığı bir dik açılı üçgenin kavramını ve özelliklerini düşünmeliyiz. geçerlidir.

Üçgen, üç açısı ve üç kenarı olan düz bir şekildir. Bir dik üçgenin adından da anlaşılacağı gibi bir dik açısı vardır, yani bu açı 90o.

Tüm üçgenlerin genel özelliklerinden, bu şeklin üç açısının toplamının 180^o olduğu bilinmektedir, bu da bir dik üçgen için şu anlama gelir: doğru olmayan iki açı 180^o -90^o=90^o. Son gerçek, bir dik üçgende dik açı olmayan herhangi bir açının her zaman 90^{o'dan küçük olacağı anlamına gelir.}

Dik açının karşısında bulunan kenara hipotenüs denir. Diğer iki kenar üçgenin bacaklarıdır, birbirine eşit olabilir veya farklı olabilir. Trigonometriden, bir üçgende bir kenarın karşısında durduğu açı ne kadar büyükse, bu kenarın uzunluğunun da o kadar büyük olduğu bilinmektedir. Bu, bir dik üçgende hipotenüsün (90^o açısının karşısında yer alır) her zaman herhangi bir bacaktan daha büyük olacağı anlamına gelir (< 90^{o açılarının karşısında yer alır)).}

Pisagor teoreminin matematiksel gösterimi

Bu teorem, hipotenüsün karesinin, her birinin önceden karesi alınmış olan bacakların toplamına eşit olduğunu söyler. Bu formülasyonu matematiksel olarak yazmak için, a, b ve c kenarlarının sırasıyla iki bacak ve hipotenüs olduğu bir dik üçgen düşünün. Bu durumda hipotenüsün karesinin bacakların karelerinin toplamına eşit olduğu belirtilen teorem şu formülle ifade edilebilir: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Buradan, uygulama için önemli olan diğer formüller elde edilebilir: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) ve c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Dik açılı bir eşkenar üçgen durumunda, yani a=b, formülasyonun: hipotenüsün karesi, her biri bacakların toplamına eşittir.kare, matematiksel olarak şu şekilde yazılır: c²=a² + b²=2a ^{2, eşitliği ima eder: c=a√2.}

Tarihsel arka plan

Hipotenüsün karesinin, her birinin karesi olan bacakların toplamına eşit olduğunu söyleyen Pisagor teoremi, ünlü Yunan filozofunun dikkatini çekmeden çok önce biliniyordu. Eski Mısır'ın birçok papirüsü ve Babillilerin kil tabletleri, bu halkların bir dik üçgenin kenarlarının belirtilen özelliğini kullandıklarını doğrulamaktadır. Örneğin, ilk Mısır piramitlerinden biri olan ve inşası MÖ 26. yüzyıla (Pisagor'un yaşamından 2000 yıl öncesine) dayanan Kefre Piramidi, 3x4x5 dik üçgende en boy oranı bilgisine dayanarak inşa edilmiştir.

Öyleyse neden teorem şimdi bir Yunan'dan sonra adlandırılıyor? Cevap basit: Pisagor bu teoremi matematiksel olarak kanıtlayan ilk kişidir. Günümüze ulaşan Babil ve Mısır yazıları yalnızca kullanımından bahseder, ancak herhangi bir matematiksel kanıt sağlamaz.

Pisagor'un, 90o açısından bir dik üçgende bir yükseklik çizerek elde ettiği benzer üçgenlerin özelliklerini kullanarak söz konusu teoremi kanıtladığına inanılmaktadır. hipotenüs.

Pisagor teoremini kullanma örneği

Basit bir problem düşünün: H=3 yüksekliğe sahip olduğu biliniyorsa, eğimli bir merdiven L'nin uzunluğunu belirlemek gerekir.metredir ve merdivenin dayandığı duvardan ayağına kadar olan mesafe P=2,5 metredir.

Bu durumda, H ve P bacaklardır ve L hipotenüstür. Hipotenüsün uzunluğu, bacakların karelerinin toplamına eşit olduğundan, şunu elde ederiz: L²=H² + P 2^{, L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 metre veya 3 metre ve 90,5 cm.}