Olasılık teorisi rastgele değişkenlerle çalışır. Rastgele değişkenler için sözde dağıtım yasaları vardır. Böyle bir yasa, rastgele değişkenini mutlak eksiksizlikle tanımlar. Bununla birlikte, gerçek rastgele değişken kümeleriyle çalışırken, dağılımlarının yasasını hemen belirlemek genellikle çok zordur ve belirli bir sayısal özellik kümesiyle sınırlıdır. Örneğin, rastgele bir değişkenin ortalamasını ve varyansını hesaplamak genellikle çok yararlıdır.
Neden gerekli
Matematiksel beklentinin özü, miktarın ortalama değerine yakınsa, o zaman bu durumda dağılım, miktarımızın değerlerinin bu matematiksel beklenti etrafında nasıl dağıldığını söyler. Örneğin, bir grup insanın IQ'sunu ölçtüysek ve ölçüm sonuçlarını (örnek) incelemek istersek, matematiksel beklenti bu grup insan için zeka bölümünün yaklaşık ortalama değerini gösterecektir ve örnek varyansını hesaplarsak., sonuçların matematiksel beklenti etrafında nasıl gruplandığını bulacağız: ona yakın bir grup (IQ'da küçük değişiklik) veya minimumdan maksimum sonuca kadar tüm aralıkta daha eşit (büyük çeşitlilik ve ortada bir yerde - matematiksel beklenti).
Varyansı hesaplamak için, rastgele bir değişkenin yeni bir özelliğine ihtiyacınız var - değerin matematiksel değerden sapması.bekliyor.
Sapma
Varyansın nasıl hesaplanacağını anlamak için önce sapmayı anlamalısınız. Tanımı, rastgele bir değişkenin aldığı değer ile matematiksel beklentisi arasındaki farktır. Kabaca söylemek gerekirse, bir değerin nasıl "dağıldığını" anlamak için sapmanın nasıl dağıldığına bakmanız gerekir. Yani, değerin değerini mattan sapma değeriyle değiştiririz. beklentileri ve dağıtım yasasını keşfedin.
Ayrık, yani bireysel değerler alan rastgele bir değişkenin dağılım yasası, değerin değerinin oluşma olasılığı ile ilişkilendirildiği bir tablo şeklinde yazılır. Daha sonra, sapma dağılım yasasında, rastgele değişken, bir değerin (olasılığını koruyan) ve kendi matının bulunduğu formülü ile değiştirilecektir. bekliyor.
Rastgele bir değişkenin sapmasının dağılım yasasının özellikleri
Rastgele bir değişkenin sapması için dağılım yasasını yazdık. Ondan, şimdiye kadar yalnızca matematiksel beklenti gibi bir özelliği çıkarabiliriz. Kolaylık olması için sayısal bir örnek almak daha iyidir.
Bir rastgele değişkenin dağılım yasası olsun: X - değer, p - olasılık.
Matematiksel beklentiyi formülü kullanarak ve hemen sapmayı hesaplıyoruz.
Yeni bir sapma dağılım tablosu çizme.
Beklentiyi de burada hesaplıyoruz.
Sıfır çıkıyor. Sadece bir örnek var, ama her zaman böyle olacak: Bunu genel durumda kanıtlamak zor değil. Sapmanın matematiksel beklentisi için formül, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentileri ile, kulağa ne kadar çarpık gelirse gelsin, matın matematiksel beklentisi arasındaki farka ayrıştırılabilir. aynı olan beklentiler (ancak yineleme), dolayısıyla aralarındaki fark sıfır olacaktır.
Bu beklenir: sonuçta, işaretteki sapmalar hem pozitif hem de negatif olabilir, bu nedenle ortalama olarak sıfır vermelidirler.
Ayrık bir durumun varyansı nasıl hesaplanır. miktarlar
Mat ise. sapma beklentisini hesaplamak anlamsız, başka bir şey aramanız gerekiyor. Sapmaların (modulo) mutlak değerlerini kolayca alabilirsiniz; ancak modüllerde her şey o kadar basit değildir, bu nedenle sapmaların karesi alınır ve ardından matematiksel beklentileri hesaplanır. Aslında varyansın nasıl hesaplanacağından bahsettiklerinde kastedilen bu.
Yani, sapmaları alırız, karelerini alırız ve rastgele değişkenlere karşılık gelen sapmaların ve olasılıkların karesini içeren bir tablo yaparız. Bu yeni bir dağıtım yasasıdır. Matematiksel beklentiyi hesaplamak için sapmanın karesi ile olasılığın çarpımlarını toplamanız gerekir.
Daha kolay formül
Ancak makale, ilk rastgele değişkenin dağılım yasasının genellikle bilinmediği gerçeğiyle başladı. Yani daha hafif bir şeye ihtiyaç var. Gerçekten de, sadece matı kullanarak örnek varyansını hesaplamanıza izin veren başka bir formül var.bekliyor:
Dağılım - mat arasındaki fark. rastgele bir değişkenin karesinin beklentisi ve tersine, matının karesi. bekliyor.
Bunun için bir kanıt var ama pratik bir değeri olmadığı için burada sunmak mantıklı değil (ve bizim sadece varyansı hesaplamamız gerekiyor).
Varyasyon serilerinde rastgele bir değişkenin varyansı nasıl hesaplanır
Gerçek istatistikte, tüm rastgele değişkenleri yansıtmak imkansızdır (çünkü kabaca konuşursak, kural olarak sonsuz sayıda vardır). Bu nedenle, çalışmaya dahil olan, bazı genel genel popülasyondan sözde temsili örneklemdir. Ve böyle bir genel popülasyondan herhangi bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri örneklemden hesaplandığından, bunlara örneklem: örnek ortalama, sırasıyla örnek varyansı denir. Her zamanki gibi hesaplayabilirsiniz (sapmaların karesini alarak).
Ancak, böyle bir dağılıma önyargılı denir. Tarafsız varyans formülü biraz farklı görünüyor. Genellikle hesaplamak gerekir.
Küçük ekleme
Dağılımla bağlantılı bir sayısal özellik daha var. Aynı zamanda, rastgele değişkenin matı etrafında nasıl dağıldığını değerlendirmeye de hizmet eder. beklentiler. Varyans ve standart sapmanın nasıl hesaplanacağı konusunda pek bir fark yoktur: ikincisi, birincisinin kareköküdür.
