İrrasyonel sayılar nelerdir? Neden böyle anılıyorlar? Nerede kullanılırlar ve nelerdir? Çok az kişi bu soruları tereddüt etmeden cevaplayabilir. Ama aslında herkesin ihtiyacı olmasa da ve çok nadir durumlarda bunlara verilecek cevaplar oldukça basit
Öz ve tanım
İrrasyonel sayılar sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirlerdir. Bu kavramı tanıtma ihtiyacı, daha önce var olan gerçek veya gerçek, tamsayı, doğal ve rasyonel sayılar kavramlarının yeni ortaya çıkan sorunları çözmek için artık yeterli olmamasından kaynaklanmaktadır. Örneğin 2'nin karesinin ne olduğunu hesaplamak için tekrar etmeyen sonsuz ondalık sayılar kullanmanız gerekir. Ek olarak, en basit denklemlerin çoğunun, irrasyonel sayı kavramını ortaya koymadan da çözümü yoktur.
Bu küme I olarak gösterilir. Ve zaten açık olduğu gibi, bu değerler payda bir tamsayı olacak ve paydada - doğal bir sayı olan basit bir kesir olarak temsil edilemez..
İlk defaaksi halde, Hintli matematikçiler bu fenomenle MÖ 7. yüzyılda, bazı niceliklerin kareköklerinin açıkça gösterilemeyeceğini keşfettiklerinde karşılaştılar. Ve bu tür sayıların varlığının ilk kanıtı, bunu bir ikizkenar dik üçgeni inceleme sürecinde yapan Pisagor Hippasus'a atfedilir. Çağımızdan önce yaşamış diğer bazı bilim adamları tarafından bu setin çalışmasına ciddi bir katkı yapıldı. İrrasyonel sayılar kavramının tanıtılması, mevcut matematiksel sistemin revizyonunu gerektirdi, bu yüzden çok önemliler.
Adın kökeni
Latincede oran "kesir", "oran" anlamına geliyorsa, "ir" ön eki
bu kelimeye zıt anlamı verir. Dolayısıyla bu sayıların kümesinin adı, bir tamsayı veya kesir ile ilişkilendirilemeyeceklerini, ayrı bir yere sahip olduklarını gösterir. Bu onların özünden kaynaklanır.
Genel sınıflandırmadaki yeri
İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılarla birlikte, karmaşık sayılara ait olan gerçek veya gerçek sayılar grubuna aittir. Alt kümeler yoktur, ancak aşağıda tartışılacak olan cebirsel ve aşkın çeşitler vardır.
Özellikler
İrrasyonel sayılar gerçek sayılar kümesinin bir parçası olduğundan, aritmetikte incelenen tüm özellikleri (bunlara temel cebir yasaları da denir) onlara uygulanır.
a + b=b + a (değişebilirlik);
(a + b) + c=a + (b + c)(çağrışım);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (zıt sayının varlığı);
ab=ba (yer değiştirme yasası);
(ab)c=a(bc) (dağıtılabilirlik);
a(b+c)=ab + ac (dağıtım yasası);
a x 1=bir
a x 1/a=1 (ters sayının varlığı);
Karşılaştırma da genel yasalara ve ilkelere uygun olarak yapılır:
Eğer a > b ve b > c ise, o zaman bir > c (oranın geçişliliği) ve. vb.
Elbette, tüm irrasyonel sayılar temel aritmetik kullanılarak dönüştürülebilir. Bunun için özel bir kural yoktur.
Ayrıca, Arşimet aksiyomu irrasyonel sayılar için de geçerlidir. Herhangi iki a ve b niceliği için, a'yı yeterince kez bir terim olarak alarak b'yi aşabileceğiniz ifadesinin doğru olduğunu söylüyor.
Kullan
Sıradan hayatta bunlarla uğraşmak zorunda kalmamanıza rağmen, irrasyonel sayılar sayılmaz. Birçoğu var, ama neredeyse görünmezler. Her yerde irrasyonel sayılarla çevriliyiz. Herkesin aşina olduğu örnekler, pi sayısı 3'e eşittir, 1415926 … veya esasen doğal logaritmanın temeli olan e, 2, 718281828 … Cebir, trigonometri ve geometride, bunların sürekli olarak kullanılması gerekir.. Bu arada, " altın bölüm"ün ünlü değeri, yani hem büyük parçanın küçüğe oranı hem de tam tersi de
bu kümeye aittir. Daha az bilinen "gümüş" - aynı zamanda.
Sayı doğrusu üzerinde çok yoğun bir şekilde bulunurlar, bu nedenle rasyonel olanlar kümesiyle ilgili herhangi iki değer arasında irrasyonel bir değerin olacağı kesindir.
Bu setle ilgili hala çözülmemiş birçok problem var. Mantıksızlığın ölçüsü ve bir sayının normalliği gibi kriterler vardır. Matematikçiler, bir gruba veya diğerine ait olmaları için en önemli örnekleri incelemeye devam ediyor. Örneğin, e'nin normal bir sayı olduğuna, yani kaydında farklı rakamların görünme olasılığının aynı olduğuna inanılmaktadır. Pi'ye gelince, bununla ilgili araştırmalar hala devam ediyor. Bir irrasyonellik ölçüsü, şu veya bu sayının rasyonel sayılarla ne kadar iyi tahmin edilebileceğini gösteren bir değer olarak da adlandırılır.
Cebirsel ve aşkın
Daha önce de belirtildiği gibi, irrasyonel sayılar şartlı olarak cebirsel ve aşkın sayılara bölünür. Şartlı olarak, kesin olarak konuşursak, bu sınıflandırma C.
kümesini bölmek için kullanılır.
Bu atama, gerçek veya gerçek sayıları içeren karmaşık sayıları gizler.
Yani, cebirsel bir değer, aynı şekilde sıfıra eşit olmayan bir polinomun kökü olan bir değerdir. Örneğin, 2'nin karekökü x2 - 2=0 denkleminin çözümü olduğu için bu kategoride olur.
Bu koşulu sağlamayan diğer tüm gerçek sayılara aşkınsal denir. Bu çeşitliliğeen ünlü ve daha önce bahsedilen örnekleri içerir - pi sayısı ve doğal logaritma e'nin tabanı.
İlginç bir şekilde, ne biri ne de ikincisi bu kapasitede matematikçiler tarafından orijinal olarak çıkarılmadı, mantıksızlıkları ve aşkınlıkları, keşiflerinden yıllar sonra kanıtlandı. Pi için ispat 1882'de verildi ve 1894'te basitleştirildi, bu da dairenin karesini alma sorunuyla ilgili 2.500 yıllık tartışmaya son verdi. Hala tam olarak anlaşılamadı, bu nedenle modern matematikçilerin üzerinde çalışacakları bir şey var. Bu arada, bu değerin ilk yeterince doğru hesaplanması Arşimet tarafından yapıldı. Ondan önce tüm hesaplamalar çok yaklaşıktı.
e için (Euler veya Napier sayıları), aşkınlığının kanıtı 1873'te bulundu. Logaritmik denklemlerin çözümünde kullanılır.
Diğer örnekler, sıfır olmayan tüm cebirsel değerler için sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini içerir.
