Kümeler örneğinde geniş bir ilişkiler yelpazesine, tanımlarıyla başlayan ve paradoksların analitik analiziyle biten çok sayıda kavram eşlik eder. Setteki yazıda tartışılan kavramın çeşitliliği sonsuzdur. Bununla birlikte, ikili tiplerden bahsederken, bu, birkaç değer arasında ikili ilişkiler anlamına gelir. Ayrıca nesneler veya ifadeler arasında.
Kural olarak, ikili ilişkiler R sembolü ile gösterilir, yani, R alanından herhangi bir x değeri için xRx ise, böyle bir özelliğe x ve x'in kabul edilen düşünce nesneleri olduğu yansımalı denir, ve R, bireyler arasındaki ilişkinin olup olmadığının veya başka bir biçimde olduğunun bir işareti olarak hizmet eder. Aynı zamanda, xRy® veya yRx'i ifade ederseniz, bu bir simetri durumunu gösterir; burada ®, “eğer … o zaman … birleşimine benzer bir ima işaretidir. Ve son olarak, yazıt (xRy Ùy Rz) ®xRz geçişli ilişkiyi anlatır ve Ù işareti bir bağlaçtır.
Hem yansımalı, hem simetrik hem de geçişli olan ikili ilişkiye denklik ilişkisi denir. f bağıntısı bir fonksiyondur ve y=z eşitliği Î f ve Î f'den çıkar. Basit bir ikili işlev kolayca uygulanabilirbelirli bir sırayla iki basit argümana ve sadece bu durumda belirli bir durumda alınan bu iki ifadeye yönelik bir anlam sağlar.
F'nin x'i y'ye eşlediği söylenmelidir,
if f, x aralığına ve y aralığına sahip bir fonksiyondur. Bununla birlikte, f, x'ten y'ye ve y Í z'yi tahmin ettiğinde, bu, f'nin z'de x'i göstermesine neden olur. Basit bir örnek: eğer f(x)=2x herhangi bir x tamsayı için doğruysa, o zaman f'nin bilinen tüm tamsayıların işaretli kümesini aynı tamsayılar kümesiyle eşlediği söylenir, ancak bu sefer çift sayılardır. Yukarıda bahsedildiği gibi, hem dönüşlü, hem simetrik hem de geçişli olan ikili ilişkiler denklik ilişkileridir.
Yukarıdakilere dayanarak, ikili ilişkilerin denklik ilişkileri özellikler tarafından belirlenir:
- yansıma - oran (M ~ N);
- simetriler - eşitlik M ~ N ise, N ~ M olacaktır;
- geçişlilik - iki eşitlik M ~ N ve N ~ P ise, sonuç olarak M ~ P.
İkili ilişkilerin bildirilen özelliklerini daha ayrıntılı olarak ele alalım. Yansıtıcılık, incelenen kümenin her bir öğesinin kendisine belirli bir eşitlikte olduğu belirli bağlantıların özelliklerinden biridir. Örneğin, a=c ve a³ c sayıları arasında her zaman a=a, c=c, a³ a, c³ c olduğundan dönüşlü bağlantılar vardır. Aynı zamanda, a>c eşitsizliğinin bağıntısı, a>a eşitsizliğinin varlığının imkansızlığından dolayı yansıma önleyicidir. Bu özelliğin aksiyomu şu işaretlerle kodlanmıştır: aRc®aRa Ù cRc, burada ® sembolü "içerir" (veya "içerir") kelimesi anlamına gelir ve Ù - işareti "ve" (veya bağlaç) birleşimidir. Bu ifadeden, eğer aRc yargısı doğruysa, aRa ve cRc ifadelerinin de doğru olduğu sonucu çıkar.
Simetri, zihinsel nesneler değiş tokuş edilse bile bir ilişkinin varlığını gerektirir, yani simetrik bir ilişki ile nesnelerin yeniden düzenlenmesi "ikili ilişkiler" türünde bir dönüşüme yol açmaz. Örneğin, a=c eşitlik ilişkisi, c=a ilişkisinin denkliği nedeniyle simetriktir; a¹c önermesi de aynıdır, çünkü ¹a ile olan bağlantıya karşılık gelir.
Bir geçişli küme, aşağıdaki gereksinimi karşılayan bir özelliktir: y н x, z н y ® z н x, burada ®, "eğer …, o zaman …" kelimelerinin yerini alan bir işarettir. Formül sözlü olarak şöyle okunur: "y x'e bağlıysa, z y'ye aittir, o zaman z de x'e bağlıdır".
