Bir fonksiyonun ekstremum noktalarının ne olduğunu anlamak için, birinci ve ikinci türevlerin varlığını bilmek ve fiziksel anlamlarını anlamak hiç de gerekli değildir. Öncelikle şunları anlamanız gerekir:
- function ekstrema keyfi olarak küçük bir mahallede işlevin değerini en üst düzeye çıkarmak veya tersine en aza indirmek;
- Ekstremum noktasında fonksiyon sonu olmamalıdır.
Ve şimdi aynı, sadece sade bir dille. Bir tükenmez kalemin ucuna bakın. Kalem, yazı bitecek şekilde dikey olarak yerleştirilirse, topun tam ortası en uç nokta - en yüksek nokta olacaktır. Bu durumda, maksimum hakkında konuşuyoruz. Şimdi, kalemi yazı tarafı aşağı gelecek şekilde çevirirseniz, topun ortasında zaten minimum fonksiyon olacaktır. Burada verilen şeklin yardımıyla, bir kırtasiye kalemi için listelenen manipülasyonları hayal edebilirsiniz. Bu nedenle, bir fonksiyonun uç noktaları her zaman kritik noktalardır: maksimum veya minimum. Grafiğin bitişik bölümü keyfi olarak keskin veya pürüzsüz olabilir, ancak her iki tarafta da mevcut olmalıdır, sadece bu durumda nokta bir ekstremumdur. Grafik sadece bir tarafta mevcutsa, bu nokta bir tarafta olsa bile bir ekstremum olmayacaktır.ekstremum koşullar sağlanır. Şimdi fonksiyonun ekstremumunu bilimsel bir bakış açısıyla inceleyelim. Bir noktanın ekstremum olarak kabul edilebilmesi için:
- ilk türev sıfıra eşitti veya o noktada yoktu;
- ilk türev bu noktada işaretini değiştirdi.
Koşul, yüksek mertebeden türevlerin bakış açısından biraz farklı yorumlanır: bir noktada türevlenebilen bir fonksiyon için, sıfıra eşit olmayan tek mertebeden bir türevin olması yeterlidir. alt mertebeden türevler mevcut olmalı ve sıfıra eşit olmalıdır. Bu, yüksek matematik ders kitaplarından teoremlerin en basit yorumudur. Ancak en sıradan insanlar için bu noktayı bir örnekle açıklamaya değer. Temel sıradan bir paraboldür. Hemen bir rezervasyon yapın, sıfır noktasında minimum vardır. Sadece biraz matematik:
- ilk türev (X2)|=2X, sıfır noktası için 2X=0;
- ikinci türev (2X)|=2, sıfır noktası için 2=2.
Bu, hem birinci mertebeden türevler hem de yüksek mertebeden türevler için fonksiyonun ekstremumlarını belirleyen koşulların basit bir gösterimidir. Buna ikinci türevin, biraz daha yukarıda tartışılan sıfıra eşit olmayan, tek sıralı bir türevin aynı türevi olduğunu ekleyebiliriz. İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu söz konusu olduğunda, her iki argüman için de koşulların karşılanması gerekir. Ne zamangenelleme yapılır, daha sonra kısmi türevler kullanılır. Yani her iki birinci mertebeden türevin sıfıra eşit olduğu veya en az birinin olmadığı bir noktada bir ekstremumun varlığı için gereklidir. Bir ekstremumun varlığının yeterliliği için, ikinci mertebeden türevlerin çarpımı ile fonksiyonun karışık ikinci mertebeden türevinin karesi arasındaki fark olan bir ifade araştırılır. Bu ifade sıfırdan büyükse ekstremum vardır ve sıfır varsa soru açık kalır ve ek araştırmaya ihtiyaç vardır.
