Goldbach problemi, tüm matematik tarihindeki en eski ve en hiper problemlerden biridir.
Bu varsayımın 4 × 1018'den küçük tüm tamsayılar için doğru olduğu kanıtlanmıştır, ancak matematikçilerin önemli çabalarına rağmen kanıtlanmamıştır.
Sayı
Goldbach sayısı, bir çift tek asal sayının toplamı olan pozitif bir çift tam sayıdır. Goldbach varsayımının başka bir biçimi, dörtten büyük tüm çift tam sayıların Goldbach sayıları olduğudur.
Bu tür sayıların ayrılmasına Goldbach bölümü (veya bölümü) denir. Aşağıda bazı çift sayılar için benzer bölümlere örnekler verilmiştir:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Hipotezin keşfi
Goldbach'ın Euler adında saymayı, karmaşık formüller yazmayı ve çözümsüz teoriler ortaya koymayı seven bir meslektaşı vardı. Bu konuda Goldbach'a benziyorlardı. Euler, Goldbach'tan önce de benzer bir matematiksel bilmece yaptı.sürekli yazışma Daha sonra, el yazmasının kenar boşluğunda, 2'den büyük bir tamsayının üç asal sayının toplamı olarak yazılabileceğine dair ikinci bir öneri önerdi. 1'i asal sayı olarak kabul etti.
İki hipotezin artık benzer olduğu biliniyor, ancak bu o zamanlar bir sorun gibi görünmüyordu. Goldbach probleminin modern versiyonu, 5'ten büyük her tam sayının üç asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini belirtir. Euler, 30 Haziran 1742 tarihli bir mektuba yanıt verdi ve Goldbach'a daha önceki bir konuşmayı hatırlattı ("… yani aşağıdaki ifadeden kaynaklanan orijinal (marjinal değil) hipotezden bahsediyoruz").
Euler-Goldbach sorunu
2 ve çift sayıları, aynı zamanda Goldbach'ın varsayımı olan iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. 30 Haziran 1742 tarihli bir mektupta Euler, her çift tam sayının, ispatlayamasa da, iyi tanımlanmış bir teorem olduğunu düşündüğü iki asal sayının toplanmasının sonucu olduğunu belirtmiştir.
Üçüncü sürüm
Goldbach probleminin üçüncü versiyonu (diğer iki versiyona eşdeğer), varsayımın bugün genellikle verildiği formdur. Bugün "zayıf", "tek" veya "üçlü" Goldbach varsayımı olarak bilinen daha zayıf hipotezden ayırt etmek için "güçlü", "çift" veya "ikili" Goldbach varsayımı olarak da bilinir. Zayıf varsayım, 7'den büyük tüm tek sayıların üç tek asal sayının toplamı olduğunu belirtir. Zayıf varsayım 2013 yılında kanıtlanmıştır. Zayıf hipotezgüçlü bir hipotezin sonucudur. Ters sonuç ve güçlü Goldbach varsayımı bugüne kadar kanıtlanmamıştır.
Kontrol
N'nin küçük değerleri için Goldbach problemi (ve dolayısıyla Goldbach varsayımı) doğrulanabilir. Örneğin, 1938'de Nils Pipping, hipotezi n ≦ 105'e kadar dikkatlice test etti. İlk bilgisayarların ortaya çıkmasıyla birlikte, daha birçok n değeri hesaplandı.
Oliveira Silva, 2013 itibariyle n ≦ 4 × 1018 (ve 4 × 1017'ye kadar çift kontrol) hipotezini doğrulayan dağıtılmış bir bilgisayar araması gerçekleştirdi. Bu aramadaki bir giriş, 3,325,581,707,333,960,528'in, 9781'in altında bir asal sayıyla Goldbach bölünmesi olmayan en küçük sayı olmasıdır.
Sezgisel
Goldbach varsayımının güçlü biçiminin versiyonu şu şekildedir: n arttıkça nicelik sonsuza gitme eğiliminde olduğundan, her büyük çift tamsayının iki asal sayının toplamı olarak birden fazla temsili olmasını bekleriz. Ama aslında, bu tür birçok temsil var. Goldbach problemini kim çözdü? Ne yazık ki hala kimse yok.
m'nin istatistiksel olarak n'den bağımsız olduğunu varsaydığından, bu buluşsal argüman aslında biraz belirsizdir. Örneğin, m tek ise, o zaman n - m de tektir ve m çift ise, o zaman n - m çifttir ve bu önemsiz (karmaşık) bir ilişkidir, çünkü 2 sayısının dışında, sadece tek sayılar asal olabilir. Benzer şekilde, n 3'e bölünebiliyorsa ve m zaten 3'ten farklı bir asal ise, o zaman n - m de karşılıklıdır3 ile asal olduğundan, toplam sayının aksine asal sayı olma olasılığı daha yüksektir. Hardy ve Littlewood, 1923'te bu tür analizi daha dikkatli bir şekilde gerçekleştirerek, ünlü Hardy-Littlewood basit küme varsayımlarının bir parçası olarak, tüm teorinin yukarıdaki ayrıntılandırmasını yaptılar. Ancak şu ana kadar sorunu çözmeye yardımcı olmadı.
Güçlü hipotez
Güçlü Goldbach varsayımı, zayıf Goldbach varsayımından çok daha karmaşıktır. Shnirelman daha sonra, 1'den büyük herhangi bir doğal sayının, C'nin etkin bir şekilde hesaplanabilir bir sabit olduğu en fazla C asalının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtladı. Birçok matematikçi bunu çözmeye çalıştı, sayıları saymaya ve çarpmaya, karmaşık formüller sunmaya vb. Ama asla başaramadılar çünkü hipotez çok karmaşık. Hiçbir formül yardımcı olmadı.
Ancak Goldbach'ın problemini kanıtlama sorunundan biraz uzaklaşmaya değer. Shnirelman sabiti, bu özelliğe sahip en küçük C sayısıdır. Shnirelman'ın kendisi C <800 000 aldı. Bu sonuç, daha sonra, 1995'te her çift sayının n ≧ 4'ün aslında en fazla altı asal sayının toplamı olduğunu gösteren Olivier Ramaret gibi birçok yazar tarafından desteklendi. Şu anda Harald Helfgott'un Goldbach teorisiyle ilişkilendirilen en ünlü sonuç.
Daha fazla geliştirme
1924'te Hardy ve Littlewood, G. R. H. ikili Goldbach problemini ihlal eden X'e kadar olan çift sayıların sayısının küçük c'den çok daha az olduğunu gösterdi.
1973'te Chen JingyunBu sorunu çözmeye çalıştım ama işe yaramadı. Aynı zamanda bir matematikçiydi, bu yüzden bilmeceleri çözmeyi ve teoremleri kanıtlamayı çok severdi.
1975'te, iki Amerikalı matematikçi, c ve C pozitif sabitleri olduğunu gösterdi - bunlar için N yeterince büyük. Özellikle, çift tamsayılar kümesi sıfır yoğunluğa sahiptir. Bütün bunlar, gelecekte gerçekleşecek olan üçlü Goldbach probleminin çözümü üzerinde çalışmak için faydalı oldu.
1951'de Linnik, yeterince büyük her çift sayının, bir asal sayı ile başka bir asal sayının birbirine eklenmesinin sonucu olduğu bir K sabitinin varlığını kanıtladı. Roger Heath-Brown ve Jan-Christoph Schlage-Puchta 2002'de K=13'ün çalıştığını buldu. Bu, birbirine ekleme yapmayı, farklı sayıları toplamayı ve ne olduğunu görmeyi seven tüm insanlar için çok ilginç.
Goldbach probleminin çözümü
Matematikteki pek çok iyi bilinen varsayımda olduğu gibi, Goldbach varsayımının, hiçbiri matematik topluluğu tarafından kabul edilmeyen bir dizi iddia edilen kanıtı vardır.
Goldbach'ın varsayımı birden büyük her pozitif tam sayının en fazla üç asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini ima etse de, mümkün olan en büyük asal sayıyı kullanan açgözlü bir algoritma kullanarak böyle bir toplamı bulmak her zaman mümkün değildir. her adımda. Pillai dizisi, açgözlü temsillerinde en fazla asal sayı gerektiren sayıların kaydını tutar. Bu nedenle Goldbach probleminin çözümühala söz konusu. Yine de, er ya da geç büyük ihtimalle çözülecektir.
Goldbach'ın asal sayıların yerine kareler gibi diğer belirli sayı kümeleriyle değiştirildiği problemine benzer teoriler vardır.
Christian Goldbach
Christian Goldbach aynı zamanda hukuk eğitimi almış bir Alman matematikçiydi. Bugün Goldbach varsayımıyla anılıyor.
Hayatı boyunca bir matematikçi olarak çalıştı - sayılar eklemeyi, yeni formüller icat etmeyi çok severdi. Ayrıca, her birinde kişisel günlüğünü tuttuğu birkaç dil biliyordu. Bu diller Almanca, Fransızca, İtalyanca ve Rusça idi. Ayrıca bazı kaynaklara göre İngilizce ve Latince bilmektedir. Hayatı boyunca oldukça tanınmış bir matematikçi olarak biliniyordu. Goldbach ayrıca Rusya ile oldukça yakın bir ilişki içindeydi, çünkü birçok Rus meslektaşı ve kraliyet ailesinin kişisel lütfu vardı.
Yeni açılan St. Petersburg Bilimler Akademisi'nde 1725'te matematik profesörü ve akademi tarihçisi olarak çalışmaya devam etti. 1728'de II. Peter Rusya Çarı olduğunda, Goldbach onun akıl hocası oldu. 1742'de Rusya Dışişleri Bakanlığı'na girdi. Yani, aslında ülkemizde çalıştı. O dönemde birçok bilim adamı, yazar, filozof ve asker Rusya'ya geldi çünkü o dönemde Rusya Amerika gibi bir fırsatlar ülkesiydi. Birçoğu burada kariyer yaptı. Ve kahramanımız da bir istisna değil.
Christian Goldbach çok dilliydi - Almanca ve Latince bir günlük yazdı, mektuplarınıAlmanca, Latince, Fransızca ve İtalyanca olarak yazılmıştı ve resmi belgeler için Rusça, Almanca ve Latince kullandı.
20 Kasım 1764'te 74 yaşında Moskova'da öldü. Goldbach'ın sorununun çözüldüğü gün, onun anısına uygun bir haraç olacak.
Sonuç
Goldbach bize bu bilimin en büyük gizemlerinden birini veren büyük bir matematikçiydi. Çözülüp çözülmeyeceği bilinmiyor. Yalnızca, Fermat teoremi örneğinde olduğu gibi, sözde çözünürlüğünün matematik için yeni perspektifler açacağını biliyoruz. Matematikçiler onu çözmeye ve analiz etmeye çok düşkündürler. Sezgisel bir bakış açısından çok ilginç ve meraklı. Matematik öğrencileri bile Goldbach problemini çözmeyi sever. Başka nasıl? Ne de olsa, gençler sürekli olarak parlak, hırslı ve çözülmemiş her şeye ilgi duyuyorlar, çünkü zorlukların üstesinden gelerek kendini iddia edebilir. Umarız yakında bu sorun genç, hırslı, meraklı beyinler tarafından çözülür.
