Altıgen prizma ve temel özellikleri

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Uzamsal geometri, prizmaların incelenmesidir. Önemli özellikleri içerdikleri hacim, yüzey alanı ve kurucu elementlerin sayısıdır. Yazıda altıgen bir prizma için tüm bu özellikleri ele alacağız.

Hangi prizmadan bahsediyoruz?

Altıgen prizma, altı kenarı ve altı açısı olan iki çokgen ve işaretli altıgenleri tek bir geometrik oluşumda birleştiren altı paralelkenardan oluşan bir şekildir.

Şekil bu prizmanın bir örneğini göstermektedir.

Kırmızı ile işaretlenmiş altıgene şeklin tabanı denir. Açıkçası, tabanlarının sayısı ikiye eşittir ve her ikisi de aynıdır. Bir prizmanın sarı-yeşilimsi yüzlerine kenarları denir. Şekilde karelerle temsil ediliyorlar, ancak genel olarak paralelkenarlardır.

Altıgen prizma eğimli ve düz olabilir. İlk durumda, taban ile kenarlar arasındaki açılar düz değil, ikinci durumda 90o'a eşittir. Ayrıca, bu prizma doğru ve yanlış olabilir. Düzenli altıgenprizma düz olmalı ve tabanında düzgün bir altıgen olmalıdır. Şekildeki yukarıdaki prizma bu gereksinimleri karşılar, bu nedenle doğru olarak adlandırılır. Makalede ayrıca genel bir durum olarak yalnızca özelliklerini inceleyeceğiz.

Elementler

Herhangi bir prizmanın ana öğeleri kenarlar, yüzler ve köşelerdir. Altıgen prizma bir istisna değildir. Yukarıdaki şekil, bu öğelerin sayısını saymanızı sağlar. Böylece, 8 yüz veya kenar elde ederiz (iki taban ve altı yan paralelkenar), köşe sayısı 12'dir (her taban için 6 köşe), altıgen prizmanın kenar sayısı 18'dir (tabanlar için altı yan ve 12)..

1750'lerde, Leonhard Euler (İsviçreli bir matematikçi) prizma içeren tüm çokyüzlüler için, belirtilen öğelerin sayıları arasında matematiksel bir ilişki kurdu. Bu ilişki şuna benziyor:

kenar sayısı=yüz sayısı + köşe sayısı - 2.

Yukarıdaki rakamlar bu formülü karşılamaktadır.

Prizma köşegenleri

Altıgen prizmanın tüm köşegenleri iki türe ayrılabilir:

• yüzlerinin düzlemlerinde yatanlar;
• Şeklin tüm hacmine ait olanlar.

Aşağıdaki resim tüm bu köşegenleri göstermektedir.

Görülebilir ki D₁ yan köşegendir, D₂ ve D₃ köşegenler prizmanın tamamı, D₄ ve D_{5 - tabanın köşegenleri.}

Kenarların köşegen uzunlukları birbirine eşittir. İyi bilinen Pisagor teoremini kullanarak bunları hesaplamak kolaydır. Altıgenin kenar uzunluğu a, yan kenarın uzunluğu b olsun. O zaman köşegenin uzunluğu vardır:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ da belirlemek kolaydır. Düzgün bir altıgenin yarıçapı a olan bir daireye sığdığını hatırlarsak, o zaman D_{4 bu dairenin çapıdır, yani şu formülü elde ederiz:}

D_4=2a.

Diagonal D₅tabanları bulmak biraz daha zordur. Bunu yapmak için bir eşkenar ABC üçgeni düşünün (bkz. Şekil). Onun için AB=BC=a, ABC açısı 120^{o. Yüksekliği bu açıdan düşürürsek (aynı zamanda açıortay ve medyan olacaktır), AC tabanının yarısı şuna eşit olacaktır:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC tarafı D_{5'nin köşegenidir, yani şu sonucu elde ederiz:}

D_5=AC=√3a.

Artık sıra bir düzgün altıgen prizmanın D₂ve D_{3köşegenlerini bulmak için kalır. Bunu yapmak için, bunların karşılık gelen dik üçgenlerin hipotenüsleri olduğunu görmeniz gerekir. Pisagor teoremini kullanarak şunu elde ederiz:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Böylece, a ve b'nin herhangi bir değeri için en büyük köşegenD_2.

Yüzey alanı

Neyin tehlikede olduğunu anlamanın en kolay yolu bu prizmanın gelişimini düşünmektir. Resimde gösterilmiştir.

Göz önünde bulundurulan şeklin tüm kenarlarının alanını belirlemek için, dörtgenin alanını ve altıgenin alanını ayrı ayrı hesaplamak, sonra bunları çarpmak gerektiği görülebilir. prizmadaki her n-gon'un sayısına eşit karşılık gelen tamsayılarla ve sonuçları toplayın. Altıgenler 2, dikdörtgenler 6.

Bir dikdörtgenin alanı için şunu elde ederiz:

S_1=ab.

O zaman yan yüzey alanı:

S_2=6ab.

Bir altıgenin alanını belirlemenin en kolay yolu, şuna benzeyen ilgili formülü kullanmaktır:

S=n/4a2ctg(pi/n).

6'ya eşit olan n sayısını bu ifadede yerine koyarsak, bir altıgenin alanını elde ederiz:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Prizmanın taban alanını elde etmek için bu ifade iki ile çarpılmalıdır:

S_os=3√3a^2.

Şeklin toplam yüzey alanını elde etmek için S_os ve S_{2 eklemek kalır:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prizma hacmi

Formülün ardındanAltıgen bir tabanın alanı, söz konusu prizmanın içerdiği hacmi hesaplamak armut bombardımanı kadar kolaydır. Bunu yapmak için, bir tabanın (altıgen) alanını, uzunluğu yan kenarın uzunluğuna eşit olan şeklin yüksekliği ile çarpmanız yeterlidir. Şu formülü elde ederiz:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Taban ve yüksekliğin çarpımının, eğik olan da dahil olmak üzere kesinlikle herhangi bir prizmanın hacim değerini verdiğine dikkat edin. Bununla birlikte, ikinci durumda, artık yan nervürün uzunluğuna eşit olmayacağından, yüksekliğin hesaplanması karmaşıktır. Düzenli bir altıgen prizmaya gelince, hacminin değeri iki değişkenin bir fonksiyonudur: a ve b kenarları.