Fourier dönüşümü, bazı gerçek değişkenlerin işlevlerini karşılaştıran bir dönüşümdür. Bu işlem her farklı ses algıladığımızda yapılır. Kulak, bilincimizin ancak yüksek matematiğin ilgili bölümünü inceledikten sonra gerçekleştirebileceği otomatik bir "hesaplama" gerçekleştirir. İnsan işitme organı, sesin (katı, sıvı veya gazlı bir ortamda dalga şeklinde yayılan elastik bir ortamdaki koşullu parçacıkların salınım hareketi) bir ardışık değerler spektrumu şeklinde sağlandığı bir dönüşüm oluşturur. farklı yükseklikteki tonların ses seviyesi. Daha sonra beyin bu bilgiyi herkese tanıdık gelen bir sese dönüştürür.
Matematiksel Fourier Dönüşümü
Ses dalgalarının veya diğer salınım işlemlerinin dönüşümü (ışık radyasyonu ve okyanus gelgitinden yıldız veya güneş aktivitesi döngülerine kadar) matematiksel yöntemler kullanılarak da gerçekleştirilebilir. Dolayısıyla, bu teknikleri kullanarak, salınımlı süreçleri bir dizi sinüzoidal bileşen, yani dalgalı eğriler olarak temsil ederek fonksiyonları ayrıştırmak mümkündür.bir deniz dalgası gibi alçaktan yükseğe, sonra tekrar alçağa gidin. Fourier dönüşümü - işlevi, belirli bir frekansa karşılık gelen her sinüzoidin fazını veya genliğini tanımlayan bir dönüşüm. Faz, eğrinin başlangıç noktasıdır ve genlik ise yüksekliğidir.
Fourier dönüşümü (örnekler fotoğrafta gösterilmiştir) bilimin çeşitli alanlarında kullanılan çok güçlü bir araçtır. Bazı durumlarda, ışık, termal veya elektrik enerjisinin etkisi altında meydana gelen dinamik süreçleri tanımlayan oldukça karmaşık denklemleri çözmenin bir yolu olarak kullanılır. Diğer durumlarda, kimya, tıp ve astronomideki çeşitli deneysel gözlemleri doğru bir şekilde yorumlayabilmeniz sayesinde karmaşık salınımlı sinyallerdeki düzenli bileşenleri belirlemenize olanak tanır.
Tarihsel arka plan
Bu yöntemi ilk uygulayan kişi Fransız matematikçi Jean Baptiste Fourier'dir. Daha sonra onun adını taşıyan dönüşüm, başlangıçta ısı iletim mekanizmasını tanımlamak için kullanıldı. Fourier tüm yetişkin yaşamını ısının özelliklerini inceleyerek geçirdi. Cebirsel denklemlerin köklerini belirleme matematiksel teorisine büyük katkı yaptı. Fourier, Mısır Bilimi Enstitüsü sekreteri Politeknik Okulu'nda analiz profesörüydü, Torino yolunun inşası sırasında kendini ayırt ettiği imparatorluk hizmetindeydi (önderliğinde, 80 bin kilometrekareden fazla sıtmabataklıklar). Ancak, tüm bu güçlü aktivite, bilim insanını matematiksel analiz yapmaktan alıkoymadı. 1802'de katılarda ısının yayılmasını tanımlayan bir denklem türetti. 1807'de bilim adamı, bu denklemi çözmek için "Fourier dönüşümü" adı verilen bir yöntem keşfetti.
Termal İletkenlik Analizi
Bilim adamı, ısı iletim mekanizmasını tanımlamak için matematiksel bir yöntem uyguladı. Hesaplamada zorluk olmayan uygun bir örnek, termal enerjinin bir kısmı ateşe batırılmış bir demir halka yoluyla yayılmasıdır. Fourier deneyler yapmak için bu halkanın bir kısmını kızdırarak ısıttı ve ince kuma gömdü. Daha sonra karşı tarafında sıcaklık ölçümleri yaptı. Başlangıçta, ısı dağılımı düzensizdir: halkanın bir kısmı soğuk ve diğeri sıcaktır; bu bölgeler arasında keskin bir sıcaklık gradyanı gözlemlenebilir. Bununla birlikte, metalin tüm yüzeyi üzerinde ısı yayılımı sürecinde daha düzgün hale gelir. Böylece, yakında bu süreç bir sinüzoid şeklini alır. İlk başta, grafik tam olarak kosinüs veya sinüs fonksiyonunun değişim yasalarına göre düzgün bir şekilde artar ve aynı zamanda azalır. Dalga kademeli olarak düzleşir ve sonuç olarak sıcaklık halkanın tüm yüzeyinde aynı olur.
Bu yöntemin yazarı, başlangıçtaki düzensiz dağılımın birkaç temel sinüzoide ayrıştırılabileceğini öne sürdü. Her birinin kendi fazı (başlangıç konumu) ve kendi sıcaklığı olacaktır.maksimum. Ayrıca, bu tür bileşenlerin her biri minimumdan maksimuma değişir ve halka etrafında tamsayı sayıda tam bir dönüşle geri döner. Bir periyodu olan bir bileşene temel harmonik, iki veya daha fazla periyodu olan bir değere ikinci denir ve bu böyle devam ederdi. Bu nedenle, sıcaklık maksimumunu, fazını veya konumunu tanımlayan matematiksel fonksiyon, dağılım fonksiyonunun Fourier dönüşümü olarak adlandırılır. Bilim adamı, matematiksel olarak tanımlanması zor olan tek bir bileşeni, kullanımı kolay bir araca indirgedi - orijinal dağılımı vermek için toplanan kosinüs ve sinüs serileri.
Analizin özü
Bu analizi, dairesel bir şekle sahip katı bir nesne aracılığıyla ısı yayılımının dönüşümüne uygulayan matematikçi, sinüzoidal bileşenin periyotlarını artırmanın onun hızlı bozulmasına yol açacağını düşündü. Bu, temel ve ikinci harmoniklerde açıkça görülmektedir. İkincisinde, sıcaklık maksimum ve minimum değerlere bir geçişte iki kez ve ilkinde sadece bir kez ulaşır. İkinci harmonikte ısının kapladığı mesafenin temeldekinin yarısı kadar olacağı ortaya çıktı. Ek olarak, ikincisindeki eğim de birincisine göre iki kat daha dik olacaktır. Bu nedenle, daha yoğun ısı akışı iki kat daha kısa bir mesafe kat ettiğinden, bu harmonik zamanın bir fonksiyonu olarak temelden dört kat daha hızlı bozunacaktır. Gelecekte, bu süreç daha da hızlı olacaktır. Matematikçi, bu yöntemin zaman içindeki ilk sıcaklık dağılımı sürecini hesaplamanıza izin verdiğine inanıyordu.
Çağdaşlara meydan okuyun
Fourier dönüşümü algoritması, o zamanlar matematiğin teorik temellerine meydan okudu. On dokuzuncu yüzyılın başında, aralarında Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre ve Biot'un da bulunduğu önde gelen bilim adamları, onun ilk sıcaklık dağılımının temel bir harmonik ve daha yüksek frekanslar biçiminde bileşenlere ayrıldığı şeklindeki ifadesini kabul etmediler. Bununla birlikte, Bilimler Akademisi, matematikçi tarafından elde edilen sonuçları görmezden gelemedi ve ona ısı iletimi yasaları teorisi ve fiziksel deneylerle karşılaştırması için bir ödül verdi. Fourier'in yaklaşımında ana itiraz, süreksiz fonksiyonun sürekli olan birkaç sinüsoidal fonksiyonun toplamı ile temsil edildiği gerçeğiydi. Sonuçta, yırtık düz ve eğri çizgileri tanımlarlar. Bilim adamının çağdaşları, süreksiz fonksiyonlar ikinci dereceden, lineer, sinüzoid veya üstel gibi sürekli fonksiyonların bir kombinasyonu ile tanımlandığında benzer bir durumla hiç karşılaşmadılar. Matematikçinin ifadelerinde haklı olması durumunda, sonsuz bir trigonometrik fonksiyon dizisinin toplamı, kesin bir adım adıma indirgenmelidir. O zaman, böyle bir açıklama saçma görünüyordu. Ancak, şüphelere rağmen, bazı araştırmacılar (örneğin Claude Navier, Sophie Germain) araştırma kapsamını genişletti ve onları termal enerji dağılımı analizinin ötesine taşıdı. Bu arada matematikçiler, birkaç sinüsoidal fonksiyonun toplamının süreksiz bir fonksiyonun tam bir temsiline indirgenip indirgenemeyeceği sorusuyla mücadele etmeye devam ettiler.
200 yaşındatarih
Bu teori iki yüzyıl boyunca gelişti, bugün nihayet oluştu. Yardımı ile uzaysal veya zamansal işlevler, kendi frekansları, fazları ve genlikleri olan sinüzoidal bileşenlere ayrılır. Bu dönüşüm iki farklı matematiksel yöntemle elde edilir. Bunlardan ilki, orijinal işlev sürekli olduğunda ve ikincisi - bir dizi ayrık bireysel değişiklikle temsil edildiğinde kullanılır. İfade, ayrık aralıklarla tanımlanan değerlerden elde edilirse, ayrı frekanslara sahip birkaç sinüzoidal ifadeye bölünebilir - en düşükten ve daha sonra iki, üç kat ve benzeri ana olandan daha yüksek. Böyle bir toplama Fourier serisi denir. İlk ifadeye her gerçek sayı için bir değer verilirse, bu, olası tüm frekansların birkaç sinüzoidaline ayrıştırılabilir. Genellikle Fourier integrali olarak adlandırılır ve çözüm, fonksiyonun integral dönüşümlerini içerir. Dönüşümün nasıl elde edildiğine bakılmaksızın, her frekans için iki sayı belirtilmelidir: genlik ve frekans. Bu değerler tek bir karmaşık sayı olarak ifade edilir. Fourier dönüşümü ile birlikte karmaşık değişkenlerin ifadeleri teorisi, çeşitli elektrik devrelerinin tasarımında, mekanik titreşimlerin analizinde, dalga yayılım mekanizmasının incelenmesinde ve daha fazlasında hesaplamalar yapmayı mümkün kıldı.
Fourier Dönüşümü Bugün
Bugün, bu sürecin incelenmesi esas olarak etkili bulmaya indirgenmiştir.bir işlevden dönüştürülmüş biçimine geçiş yöntemleri ve bunun tersi. Bu çözüm, doğrudan ve ters Fourier dönüşümü olarak adlandırılır. Bu ne anlama geliyor? İntegrali belirlemek ve doğrudan bir Fourier dönüşümü üretmek için matematiksel yöntemler veya analitik yöntemler kullanılabilir. Bunları pratikte kullanırken bazı zorluklar ortaya çıkmasına rağmen, çoğu integral zaten bulundu ve matematiksel referans kitaplarına dahil edildi. Sayısal yöntemler, formu deneysel verilere dayanan ifadeleri veya integralleri tablolarda bulunmayan ve analitik biçimde sunulması zor olan fonksiyonları hesaplamak için kullanılabilir.
Bilgisayarların ortaya çıkmasından önce, bu tür dönüşümlerin hesaplamaları çok sıkıcıydı, dalga fonksiyonunu tanımlayan noktaların sayısına bağlı olarak çok sayıda aritmetik işlemin manuel olarak yürütülmesini gerektiriyordu. Hesaplamaları kolaylaştırmak için bugün yeni analitik yöntemlerin uygulanmasını mümkün kılan özel programlar var. Böylece, 1965'te James Cooley ve John Tukey, "Hızlı Fourier Dönüşümü" olarak bilinen bir yazılım yarattılar. Eğri analizinde çarpma sayısını az altarak hesaplamalar için zamandan tasarruf etmenizi sağlar. Hızlı Fourier dönüşümü yöntemi, eğrinin çok sayıda tek biçimli örnek değerlerine bölünmesine dayanır. Buna göre, puan sayısındaki aynı azalma ile çarpma sayısı yarıya iner.
Fourier dönüşümünü uygulama
Busüreç bilimin çeşitli alanlarında kullanılmaktadır: sayı teorisi, fizik, sinyal işleme, kombinatorik, olasılık teorisi, kriptografi, istatistik, okyanus bilimi, optik, akustik, geometri ve diğerleri. Uygulamanın zengin olanakları, "Fourier dönüşüm özellikleri" olarak adlandırılan bir dizi kullanışlı özelliğe dayanmaktadır. Onları düşünün.
1. Fonksiyon dönüşümü doğrusal bir operatördür ve uygun normalleştirme ile üniterdir. Bu özellik Parseval teoremi veya genel olarak Plancherel teoremi veya Pontryagin dualizmi olarak bilinir.
2. Dönüşüm tersine çevrilebilir. Ayrıca, ters sonuç doğrudan çözümdekiyle hemen hemen aynı forma sahiptir.
3. Sinüzoidal temel ifadeler kendi farklılaştırılmış fonksiyonlarıdır. Bu, böyle bir gösterimin sabit katsayılı lineer denklemleri sıradan cebirsel denklemlere dönüştürdüğü anlamına gelir.
4. "Evrişim" teoremine göre, bu işlem karmaşık bir işlemi basit bir çarpma işlemine dönüştürür.
5. Ayrık Fourier dönüşümü, "hızlı" yöntem kullanılarak bir bilgisayarda hızla hesaplanabilir.
Fourier dönüşümünün çeşitleri
1. Çoğu zaman, bu terim, belirli açısal frekanslar ve genlikler ile karmaşık üstel ifadelerin bir toplamı olarak herhangi bir kare-entegre edilebilir ifade sağlayan sürekli bir dönüşümü belirtmek için kullanılır. Bu türün birkaç farklı formu vardır.sabit katsayılarla farklılık gösterir. Sürekli yöntem, matematiksel referans kitaplarında bulunabilen bir dönüştürme tablosu içerir. Genelleştirilmiş bir durum, verilen işlemin gerekli gerçek güce yükseltilebildiği kesirli bir dönüşümdür.
2. Sürekli mod, sınırlı bir alanda var olan ve bunları sinüzoid dizileri olarak temsil eden çeşitli periyodik fonksiyonlar veya ifadeler için tanımlanan Fourier serilerinin erken tekniğinin bir genellemesidir.
3. Ayrık Fourier dönüşümü. Bu yöntem, bilgisayar teknolojisinde bilimsel hesaplamalar ve dijital sinyal işleme için kullanılır. Bu tür bir hesaplamayı gerçekleştirmek için, sürekli Fourier integralleri yerine ayrık bir küme üzerinde bireysel noktaları, periyodik veya sınırlı alanları tanımlayan fonksiyonlara sahip olmak gerekir. Bu durumda sinyal dönüşümü, sinüzoidlerin toplamı olarak temsil edilir. Aynı zamanda, "hızlı" yöntemin kullanılması, herhangi bir pratik soruna ayrık çözümler uygulamayı mümkün kılar.
4. Pencereli Fourier dönüşümü, klasik yöntemin genelleştirilmiş bir şeklidir. Standart çözümün aksine, belirli bir değişkenin varlığının tüm aralığında alınan sinyal spektrumu kullanıldığında, orijinal değişkenin (zaman) korunması koşuluyla burada yalnızca yerel frekans dağılımı özellikle ilgi çekicidir..
5. İki boyutlu Fourier dönüşümü. Bu yöntem, iki boyutlu veri dizileriyle çalışmak için kullanılır. Bu durumda, önce dönüşüm bir yönde, sonradiğer.
Sonuç
Bugün, Fourier yöntemi, bilimin çeşitli alanlarında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Örneğin, 1962'de, X-ışını kırınımı ile birleştirilmiş Fourier analizi kullanılarak DNA çift sarmal şekli keşfedildi. İkincisi, DNA liflerinin kristallerine odaklandı, sonuç olarak, radyasyon kırınımı ile elde edilen görüntü filme kaydedildi. Bu resim, belirli bir kristal yapıya Fourier dönüşümü kullanıldığında genliğin değeri hakkında bilgi verdi. DNA'nın kırınım haritasının benzer kimyasal yapıların analizinden elde edilen haritalarla karşılaştırılmasıyla faz verileri elde edildi. Sonuç olarak, biyologlar kristal yapıyı - orijinal işlevi - restore ettiler.
Fourier dönüşümleri uzay, yarı iletken ve plazma fiziği, mikrodalga akustiği, oşinografi, radar, sismoloji ve tıbbi araştırmalarda büyük rol oynar.
