Matematikte ve işlemede, analitik sinyal kavramı (kısaca - C, AC), negatif frekans bileşenleri olmayan karmaşık bir fonksiyondur. Bu olgunun gerçek ve sanal kısımları, Hilbert dönüşümü ile birbiriyle ilişkili gerçek fonksiyonlardır. Analitik bir sinyal, özü bu kavramın matematiksel tanımına benzeyen kimyada oldukça yaygın bir olgudur.
Performans
Gerçek bir fonksiyonun analitik temsili, orijinal fonksiyonu ve onun Hilbert dönüşümünü içeren bir analitik sinyaldir. Bu gösterim birçok matematiksel işlemi kolaylaştırır. Ana fikir, gerçek bir fonksiyonun Fourier dönüşümünün (veya spektrumunun) negatif frekans bileşenlerinin, böyle bir spektrumun Hermit simetrisi nedeniyle gereksiz olmasıdır. Bu negatif frekans bileşenleri,Bunun yerine karmaşık bir işlevle uğraşmak istemeniz koşuluyla bilgi kaybı. Bu, belirli özellik niteliklerini daha erişilebilir kılar ve SSB gibi modülasyon ve demodülasyon tekniklerinin türetilmesini kolaylaştırır.
Olumsuz bileşenler
Manipüle edilen fonksiyonun negatif frekans bileşenleri olmadığı sürece (yani hala analitik), karmaşıktan gerçeğe dönüştürmek sadece hayali kısmı atmak meselesidir. Analitik temsil, bir vektör kavramının genelleştirilmesidir: bir vektör zamanla değişmeyen bir genlik, faz ve frekansla sınırlıyken, bir analitik sinyalin nitel analizi zamanla değişen parametrelere izin verir.
Anlık genlik, anlık faz ve frekans, bazı uygulamalarda C'nin yerel özelliklerini ölçmek ve tespit etmek için kullanılır. Analitik gösterimin bir başka uygulaması, modüle edilmiş sinyallerin demodülasyonu ile ilgilidir. Kutupsal koordinatlar, AM ve faz (veya frekans) modülasyonunun etkilerini uygun şekilde ayırır ve belirli türleri etkin bir şekilde demodüle eder.
O zaman gerçek katsayılara sahip basit bir alçak geçiren filtre, ilgilenilen kısmı kesebilir. Diğer bir amaç, diğer ad olmayan örnekleme için minimum frekansı düşüren maksimum frekansı düşürmektir. Frekans kayması, temsilin matematiksel kullanışlılığına zarar vermez. Bu nedenle, bu anlamda, aşağı dönüştürülmüş hala analitiktir. Ancak, gerçek temsilin restorasyonuartık gerçek bileşeni çıkarmak gibi basit bir mesele değil. Yukarı dönüştürme gerekli olabilir ve sinyal örneklenmişse (ayrık zaman), örtüşmeyi önlemek için enterpolasyon (yukarı örnekleme) de gerekebilir.
Değişkenler
Kavram, genellikle geçici olan tek değişkenli fenomenler için iyi tanımlanmıştır. Bu zamansallık birçok yeni başlayan matematikçinin kafasını karıştırır. İki veya daha fazla değişken için analitik C farklı şekillerde tanımlanabilir ve aşağıda iki yaklaşım sunulmuştur.
Bu fenomenin gerçek ve sanal kısımları, bir değişkenli benzer fenomenler için tanımlandığı gibi, vektör değerli monogenik bir sinyalin iki unsuruna karşılık gelir. Bununla birlikte, monogenik, n-değişken sinyaller için (n + 1) boyutlu bir vektör işlevi yaratarak basit bir şekilde isteğe bağlı sayıda değişkene genişletilebilir.
Sinyal dönüştürme
Gerçek bileşenin Hilbert dönüşümü olan sanal bir (Q) bileşen ekleyerek gerçek bir sinyali analitik olana dönüştürebilirsiniz.
Bu arada, bu dijital işlemede yeni değil. Tek yan bant (SSB) AM üretmenin geleneksel yollarından biri olan fazlama yöntemi, analog direnç-kapasitör ağındaki bir ses sinyalinin Hilbert dönüşümünü üreterek sinyaller oluşturmayı içerir. Yalnızca pozitif frekanslara sahip olduğundan, onu yalnızca bir yan bantlı modüle edilmiş bir RF sinyaline dönüştürmek kolaydır.
Tanım formülleri
Analitik sinyal ifadesi, üst karmaşık yarı düzlemin sınırında tanımlanan bir holomorfik karmaşık fonksiyondur. Üst yarı düzlemin sınırı rastgele ile çakışır, bu nedenle C, fa: R → C eşlemesi ile verilir. Geçen yüzyılın ortasından beri, Denis Gabor 1946'da bu fenomeni sabit genlik ve fazı incelemek için kullanmayı önerdiğinde., sinyal birçok uygulama bulmuştur. Bu fenomenin özelliği vurgulandı [Vak96], burada analitik sinyalin yalnızca niteliksel bir analizinin genlik, faz ve frekans için fiziksel koşullara karşılık geldiği gösterildi.
Son başarılar
Geçtiğimiz birkaç on yıl boyunca, görüntü / video işlemeden fizikte sismik, elektromanyetik ve elektromanyetik gibi çok boyutlu salınım süreçlerine kadar değişen alanlarda ortaya çıkan problemlerin motive ettiği birçok boyutta sinyal çalışmasına bir ilgi olmuştur. yerçekimi dalgaları. Analitik C'yi (niteliksel analiz) birkaç boyutta doğru bir şekilde genelleştirmek için, sıradan karmaşık sayıları uygun bir şekilde genişleten bir cebirsel yapıya güvenmek gerektiği genel olarak kabul edilmiştir. Bu tür yapılara genellikle hiper karmaşık sayılar [SKE] denir.
Son olarak, bir anlık genlik veaşama.
Çalışma
Hiperkompleks sayı sisteminin doğru seçimi, hiperkompleks Fourier dönüşümünün tanımı ve anlık genlik ve fazı incelemek için fraksiyonel Hilbert dönüşümleri ile ilgili çeşitli konulara bir dizi makale ayrılmıştır. Bu çalışmanın çoğu, Cd, kuaterniyonlar, Clearon cebirleri ve Cayley-Dixon yapıları gibi çeşitli uzayların özelliklerine dayanıyordu.
Sırada, sinyalin birçok boyutta incelenmesine yönelik çalışmalardan sadece bazılarını listeleyeceğiz. Bildiğimiz kadarıyla çok değişkenli yöntem üzerine ilk çalışmalar 1990'ların başında elde edildi. Bunlar arasında Ell'in hiperkarmaşık dönüşümler üzerine çalışması [Ell92]; Bulow'un analitik reaksiyon yönteminin (analitik sinyal) birçok ölçüme genelleştirilmesi üzerine çalışması [BS01] ve Felsberg ve Sommer'in monogenik sinyaller üzerine çalışması.
Gelişmiş beklentiler
Hiperkompleks sinyalin, 1B durumda sahip olduğumuz tüm faydalı özellikleri genişletmesi bekleniyor. Her şeyden önce, ölçümlerin anlık genliğini ve fazını çıkarabilmeli ve genelleştirebilmeliyiz. İkincisi, karmaşık bir analitik sinyalin Fourier spektrumu yalnızca pozitif frekanslarda korunur, bu nedenle hiperkompleks Fourier dönüşümünün kendi hiper-değerli spektrumuna sahip olmasını bekleriz, bu sadece hiperkompleks uzayın bazı pozitif kadranlarında korunacaktır. Çünkü çok önemli.
Üçüncüsü, karmaşık bir kavramın birleşik parçalarıAnalitik sinyalin büyük bir kısmı Hilbert dönüşümüyle ilişkilidir ve hiperkompleks uzaydaki eşlenik bileşenlerin Hilbert dönüşümlerinin bazı kombinasyonlarıyla da ilişkili olması gerektiğini bekleyebiliriz. Ve son olarak, gerçekten de, bir hiperkarmaşık sinyal, bir hiperkarmaşık uzayda bir formun sınırında tanımlanan birkaç hiperkarmaşık değişkenin bazı hiperkarmaşık holomorfik fonksiyonunun bir uzantısı olarak tanımlanmalıdır.
Bu sorunları sırayla ele alıyoruz. Her şeyden önce, Fourier integral formülüne bakarak başlıyoruz ve Hilbert dönüşümünün 1-D'ye dönüştürülmüş Fourier integral formülüyle ilişkili olduğunu gösteriyoruz. Bu gerçek, hiperkarmaşık sayı sistemlerine ve holomorfik fonksiyonlara herhangi bir referans olmadan anlık genliği, fazı ve frekansı tanımlamamızı sağlar.
Entegrallerin modifikasyonu
Değiştirilmiş Fourier integral formülünü birkaç boyuta genişleterek devam ediyoruz ve anlık genlik ve fazda toplayabileceğimiz tüm gerekli faz kaydırmalı bileşenleri belirliyoruz. İkinci olarak, birkaç hiper karmaşık değişkenin holomorfik fonksiyonlarının varlığı sorusuna dönüyoruz. [Sch93]'ten sonra, bir dizi eliptik (e2i=-1) üreteç tarafından üretilen değişmeli ve birleştirici hiperkompleks cebirin, hiperkompleks bir analitik sinyalin yaşaması için uygun bir uzay olduğu ortaya çıktı, böyle bir hiperkompleks cebire Schaefers uzayı diyoruz ve şunu ifade ediyoruz: OSd.
Bu nedenle, analitik sinyallerin hiper kompleksi, genel Schaefers uzayı dediğimiz ve Sd ile gösterilen bazı hiperkompleks uzayda polidisk / düzlemin üst yarısının sınırında bir holomorfik fonksiyon olarak tanımlanır. Daha sonra, Sd'deki bir polidisk içindeki bir hiperyüzey üzerinden hesaplanan Sd → Sd fonksiyonları için Cauchy integral formülünün geçerliliğini gözlemliyoruz ve hiperkompleks eşlenik bileşenleri ilişkilendiren karşılık gelen kesirli Hilbert dönüşümlerini türetiyoruz. Son olarak, Schaefers uzayındaki değerlerle Fourier dönüşümünün yalnızca negatif olmayan frekanslarda desteklendiği ortaya çıktı. Bu makale sayesinde analitik sinyalin ne olduğunu öğrendiniz.
